मेकेनिकल ऊर्जा। ऊर्जा संरक्षण का नियम. कुल यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन और संरक्षण का नियम
इस अध्याय की शुरुआत में, हमने कहा था कि गति की तरह ऊर्जा भी संरक्षित रहती है। हालाँकि, जब हमने गतिज और संभावित ऊर्जाओं पर विचार किया, तो उनके संरक्षण के बारे में कुछ नहीं कहा गया। ऊर्जा संरक्षण का नियम क्या है?
विचार करें कि परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों की ऊर्जा कैसे बदलती है केवलसाथ में। ऐसी प्रणालियाँ, जैसा कि हम जानते हैं, कहलाती हैं बंद किया हुआ।ऐसी प्रणाली में गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों हो सकती हैं। काइनेटिक - क्योंकि सिस्टम के शरीर गति कर सकते हैं, संभावित - क्योंकि सिस्टम के शरीर एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। सिस्टम की दोनों ऊर्जा समय के साथ बदल सकती हैं।
द्वारा निरूपित करें इ p1 किसी समय और उसके बाद सिस्टम की संभावित ऊर्जा ई के 1एक ही समय में निकायों की एक प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा। समय के किसी अन्य क्षण में समान पिंडों की स्थितिज और गतिज ऊर्जाओं को क्रमशः, द्वारा निरूपित किया जाएगा ई आर2और ई के 2
पिछले पैराग्राफ में, हमने स्थापित किया है कि जब पिंड गुरुत्वाकर्षण या लोच द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, तो इन बलों द्वारा किया गया कार्य विपरीत संकेत के साथ लिए गए सिस्टम के पिंडों की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
दूसरी ओर, गतिज ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, वही कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
ए = ई के2 - ई के1 (2)
ऊर्जा एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित होती है।
मेंसमानता के बाएँ भाग (1) और (2) में समान मान होता है - सिस्टम के निकायों के बीच परस्पर क्रिया की शक्तियों का कार्य। अतः दाहिनी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हैं:
ई के2 - ई के 1 = - (ईपी 2 - ईपी 1)।(3)
इस समानता से यह देखा जा सकता है कि पिंडों की परस्पर क्रिया और गति के परिणामस्वरूप गतिज और स्थितिज ऊर्जा इस तरह बदलती है कि उनमें से एक में वृद्धि दूसरे में कमी के बराबर होती है। उनमें से एक कितना बढ़ता है, दूसरा कितना घटता है। मामला घटित होता नजर आ रहा है परिवर्तनएक प्रकार की ऊर्जा से दूसरे प्रकार की ऊर्जा। यह ऊर्जा नामक मात्रा की एक महत्वपूर्ण विशेषता है: ऊर्जा के विभिन्न रूप हैं, और वे एक को दूसरे में बदल सकते हैं। लेकिन उनमें से किसी को भी संरक्षित नहीं कहा जा सकता।
कुल यांत्रिक ऊर्जा. कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम.
यदि दो प्रकार की ऊर्जा में से एक उतनी ही घटती है जितनी दूसरी बढ़ती है, तो इसका मतलब यह है जोड़दोनों प्रकार की ऊर्जाएँ अपरिवर्तित रहती हैं। इसे सूत्र (3) से देखा जा सकता है, जिसे निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
ई के 2 + ईपी 2 = ई के 1 + ईपी 1।(4)
समानता के बाईं ओर, हम किसी समय में निकायों की प्रणाली की गतिज और संभावित ऊर्जाओं का योग देखते हैं, दाईं ओर - किसी अन्य समय में समान मात्रा। यह राशि कहलाती है पूर्ण यांत्रिक ऊर्जासिस्टम. पिंडों की एक प्रणाली के लिए जिसमें गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है, उदाहरण के लिए, प्रणाली के लिए "पृथ्वी - एक गिरता हुआ पिंड" या "पृथ्वी - एक फेंका हुआ पिंड", यह इसके बराबर है एमजीएच+एमवी 2/2.
यदि निकाय के पिंडों के बीच एक लोचदार बल कार्य करता है, तो कुल यांत्रिक ऊर्जा इस प्रकार लिखी जाएगी:
केएक्स 2/2 + एमवी 2/2
समानता (4) का अर्थ है कि निकायों की एक बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है, सहेजा गया है.यह क्या है संरक्षण कानूनऊर्जा।
गुरुत्वाकर्षण बलों या लोचदार बलों के साथ संपर्क करने वाले निकायों की एक बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा प्रणाली के निकायों के किसी भी आंदोलन के दौरान अपरिवर्तित रहती है।
ऊर्जा परिवर्तन और कार्य।
तथ्य यह है कि समान कार्य से गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है या स्थितिज ऊर्जा में समान कमी आती है, इसका मतलब है कि कार्य एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित ऊर्जा के बराबर है। उदाहरण के लिए, हमने देखा है कि किसी बल द्वारा किया गया सकारात्मक कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर होता है। लेकिन, कुल ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार, स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में बदले बिना घट नहीं सकती!
गति के संरक्षण के नियम की तरह ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग कई यांत्रिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, कई समस्याओं को गति के नियमों के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग की तुलना में अधिक सरलता से हल किया जाता है।
1. कुल यांत्रिक ऊर्जा क्या है?
2. यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम क्या है?
3. यदि गुरुत्वाकर्षण बल और प्रत्यास्थ बल दोनों एक साथ कार्य करते हैं तो क्या यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम पूरा होता है?
4. किसी बाहरी बल की क्रिया निकायों की प्रणाली की ऊर्जा को कैसे प्रभावित करती है? क्या इस मामले में कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित है? 5. उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर कक्षा में है। रॉकेट इंजन की मदद से उसे दूसरी कक्षा में स्थानांतरित किया गया। क्या इसकी यांत्रिक ऊर्जा बदल गयी है?
निकायों की एक प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है:
प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन इस प्रणाली के पिंडों पर कार्यरत सभी बलों के कुल कार्य के बराबर है:
∆Ek = Apot + Anepot + Aext (1)
सिस्टम की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन विपरीत चिह्न के साथ संभावित बलों के कार्य के बराबर है:
∆ईपी = - एपोट (2)
जाहिर है, कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन बराबर है:
∆E = ∆Ep + ∆Ek (3)
समीकरण (1-3) से हम पाते हैं कि कुल यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन सभी बाहरी बलों और आंतरिक गैर-संभावित बलों के कुल कार्य के बराबर है।
∆Ek = Avext + Anepot (4)
सूत्र (4) है कुल यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन का नियमफ़ोन सिस्टम
इसमें क्या शामिल होता है यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम? यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम यह है कि किसी बंद प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।
4) घूर्णी गति. आवेग का क्षण. जड़ता का टेंसर. एक कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा और कोणीय गति। कोनिग और स्टीनर-ह्यूजेंस के प्रमेय।
घूर्णी गति.
घूर्णी गति- एक प्रकार की यांत्रिक गति। एक बिल्कुल कठोर पिंड की घूर्णी गति के दौरान, इसके बिंदु समानांतर विमानों में स्थित वृत्तों का वर्णन करते हैं। इस मामले में सभी वृत्तों के केंद्र एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं, जो वृत्तों के तलों के लंबवत होती है और इसे घूर्णन अक्ष कहा जाता है। घूर्णन की धुरी शरीर के अंदर और उसके बाहर स्थित हो सकती है। किसी दिए गए संदर्भ प्रणाली में घूर्णन की धुरी या तो चल या स्थिर हो सकती है।
एकसमान घूर्णन के साथ (प्रति सेकंड टी क्रांतियाँ),
§ घूर्णन आवृत्तिप्रति इकाई समय में शरीर के चक्करों की संख्या है।
,
§ परिभ्रमण काल- एक संपूर्ण क्रांति का समय। परिभ्रमण काल टीऔर इसकी आवृत्ति से संबंधित हैं।
§ लाइन की गतिघूर्णन अक्ष से दूरी R पर स्थित एक बिंदु
§ कोणीय वेगशरीर का घूमना
.
§ घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा
कहाँ इज़- घूर्णन अक्ष के परितः पिंड की जड़ता का क्षण। - कोणीय गति
आवेग का क्षण.
कोनेदार गतिघूर्णी गति की मात्रा को दर्शाता है। एक मात्रा जो इस बात पर निर्भर करती है कि कितना द्रव्यमान घूम रहा है, इसे घूर्णन की धुरी के बारे में कैसे वितरित किया जाता है, और घूर्णन कितनी तेजी से होता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां घूर्णन को व्यापक अर्थ में समझा जाता है, न कि केवल एक अक्ष के चारों ओर नियमित घूर्णन के रूप में। उदाहरण के लिए, यहां तक कि किसी पिंड की एक सीधी रेखा गति के साथ एक मनमाना काल्पनिक बिंदु जो गति की रेखा पर स्थित नहीं है, उसमें भी एक कोणीय गति होती है। संभवतः वास्तविक घूर्णी गति का वर्णन करने में कोणीय गति द्वारा सबसे बड़ी भूमिका निभाई जाती है।
एक बंद प्रणाली का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
किसी मूल के संबंध में किसी कण का कोणीय संवेग उसके त्रिज्या सदिश और संवेग के सदिश गुणनफल द्वारा निर्धारित होता है:
चयनित संदर्भ बिंदु के सापेक्ष कण का त्रिज्या-वेक्टर कहां है, जो दिए गए संदर्भ फ्रेम में गतिहीन है, कण की गति है।
यदि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर पर कार्य करने वाले बलों के क्षणों का योग शून्य है, तो कोणीय गति संरक्षित होती है (कोणीय गति के संरक्षण का नियम):
किसी कठोर पिंड के कोणीय संवेग का समय व्युत्पन्न शरीर पर कार्य करने वाले सभी बलों के क्षणों के योग के बराबर होता है:
जड़ता का टेंसर.
जड़ता का टेंसर- एक बिल्कुल कठोर शरीर के यांत्रिकी में - एक टेंसर मात्रा जो शरीर के कोणीय गति और उसके घूर्णन की गतिज ऊर्जा को उसके कोणीय वेग से संबंधित करती है:
जड़त्व टेंसर कहां है, कोणीय वेग है, कोणीय गति है
गतिज ऊर्जा।
गतिज ऊर्जा- यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा, जो उसके बिंदुओं की गति की गति पर निर्भर करती है। माप की SI इकाई जूल है। गतिज ऊर्जा किसी निकाय की कुल ऊर्जा और उसकी शेष ऊर्जा के बीच का अंतर है। अनुवादात्मक और घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा को अक्सर आवंटित किया जाता है।
एक बिल्कुल कठोर शरीर के लिए, कुल गतिज ऊर्जा को स्थानान्तरणीय और घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा के योग के रूप में लिखा जा सकता है:
कहां: - पिंड का द्रव्यमान, - पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गति, - पिंड की जड़ता का क्षण, - पिंड का कोणीय वेग।
कोनिग का प्रमेय.
कोनिग का प्रमेययह सिस्टम की कुल गतिज ऊर्जा को द्रव्यमान के केंद्र की गति की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गति की ऊर्जा के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है।
प्रणाली की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के केंद्र की गति की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गति की ऊर्जा है:
,
कुल गतिज ऊर्जा कहां है, द्रव्यमान गति के केंद्र की ऊर्जा है, सापेक्ष गतिज ऊर्जा है।
दूसरे शब्दों में, किसी पिंड या जटिल गति वाले पिंडों के सिस्टम की कुल गतिज ऊर्जा, स्थानांतरीय गति में सिस्टम की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष घूर्णी गति में सिस्टम की ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
स्टीनर-ह्यूजेंस प्रमेय.
ह्यूजेन्स-स्टाइनर प्रमेय: एक मनमाना अक्ष के बारे में किसी पिंड की जड़ता का क्षण, इसके समानांतर एक अक्ष के बारे में इस शरीर की जड़ता के क्षण के योग के बराबर होता है, जो शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है, और अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग द्वारा शरीर के द्रव्यमान का गुणनफल होता है:
पिंड के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़त्व का ज्ञात क्षण कहां है, समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता का वांछित क्षण है, शरीर का द्रव्यमान है, संकेतित अक्षों के बीच की दूरी है।
5) दो कणों की प्रणाली. द्रव्यमान कम होना. केन्द्रीय क्षेत्र. केप्लर के नियम.
द्रव्यमान कम होना.
द्रव्यमान कम होना- चलती यांत्रिक प्रणाली में द्रव्यमान वितरण की एक सशर्त विशेषता, प्रणाली के भौतिक मापदंडों (द्रव्यमान, जड़ता के क्षण, आदि) और इसकी गति के नियम पर निर्भर करती है।
आमतौर पर घटा हुआ द्रव्यमान समानता से निर्धारित होता है 
, सिस्टम की गतिज ऊर्जा कहां है, और सिस्टम के उस बिंदु की गति है जहां द्रव्यमान कम हो जाता है। अधिक सामान्य रूप में, कम किया गया द्रव्यमान स्थिर बाधाओं वाले सिस्टम की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति में जड़ता का गुणांक है, जिसकी स्थिति सामान्यीकृत निर्देशांक द्वारा निर्धारित की जाती है
जहां बिंदु का अर्थ समय के संबंध में विभेदन है, और सामान्यीकृत निर्देशांक के कार्य हैं।
दो कणों की प्रणाली.
दो पिंडों का कार्य दो बिंदु कणों की गति को निर्धारित करना है जो केवल एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। सामान्य उदाहरणों में एक उपग्रह किसी ग्रह की परिक्रमा करता है, एक ग्रह किसी तारे की परिक्रमा करता है।
दो-शरीर की समस्या को दो स्वतंत्र एक-शरीर की समस्याओं के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें बाहरी क्षमता में एक कण की गति का समाधान शामिल होता है। चूंकि कई एकल-शरीर समस्याओं को सटीक रूप से हल किया जा सकता है, इसलिए संबंधित दो-शरीर वाली समस्या को भी हल किया जा सकता है। इसके विपरीत, तीन-शरीर की समस्या (और, अधिक सामान्यतः, एन-शरीर की समस्या) को विशेष मामलों को छोड़कर हल नहीं किया जा सकता है।
दो-शरीर की समस्या में, जो उत्पन्न होती है, उदाहरण के लिए, आकाशीय यांत्रिकी या प्रकीर्णन सिद्धांत में, कम द्रव्यमान एक प्रकार के प्रभावी द्रव्यमान के रूप में प्रकट होता है जब दो-शरीर की समस्या एक शरीर के बारे में दो समस्याओं में कम हो जाती है। दो पिंडों पर विचार करें: एक द्रव्यमान वाला और दूसरा द्रव्यमान वाला। समतुल्य एक-पिंड समस्या में, कोई कम द्रव्यमान वाले पिंड की गति को बराबर मानता है
जहां इस द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल इन दो पिंडों के बीच कार्य करने वाले बल द्वारा दिया जाता है। यह देखा जा सकता है कि घटा हुआ द्रव्यमान दो द्रव्यमानों के हार्मोनिक माध्य के आधे के बराबर है।
केन्द्रीय क्षेत्र.
दो पिंडों की गति की समस्या को एक पिंड की गति की समस्या तक कम करने के बाद, हम एक बाहरी क्षेत्र में एक कण की गति निर्धारित करने के प्रश्न पर आए हैं जिसमें इसकी संभावित ऊर्जा केवल एक निश्चित निश्चित बिंदु की दूरी पर निर्भर करती है; ऐसे क्षेत्र को केंद्रीय कहा जाता है। ताकत
कण पर कार्य करना, निरपेक्ष मान में भी केवल पर निर्भर करता है और त्रिज्या वेक्टर के साथ प्रत्येक बिंदु पर निर्देशित होता है।
केंद्रीय क्षेत्र में चलते समय, क्षेत्र के केंद्र के सापेक्ष सिस्टम का क्षण संरक्षित रहता है। एक कण के लिए यह है
केप्लर के नियम.
केप्लर के नियम- तीन अनुभवजन्य अनुपात. ग्रह की आदर्श सूर्यकेन्द्रित कक्षा का वर्णन करें। शास्त्रीय यांत्रिकी के ढांचे के भीतर, वे सीमा / → 0 से गुजरते हुए दो-शरीर की समस्या के समाधान से प्राप्त होते हैं, जहां ग्रह और सूर्य का द्रव्यमान होता है।
1. सौर मंडल का प्रत्येक ग्रह एक दीर्घवृत्त के चारों ओर घूमता है, जिसके एक फोकस में सूर्य है।
2. प्रत्येक ग्रह सूर्य के केंद्र से गुजरते हुए एक तल में घूमता है, और समान अवधि के लिए, सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाला त्रिज्या वेक्टर समान क्षेत्रों का वर्णन करता है।
3. सूर्य के चारों ओर ग्रहों की परिक्रमण अवधि के वर्ग ग्रहों की कक्षाओं के अर्ध-प्रमुख अक्षों के घनों के रूप में संबंधित हैं। यह न केवल ग्रहों के लिए, बल्कि उनके उपग्रहों के लिए भी सत्य है।
6) लैग्रेंज फ़ंक्शन. लैग्रेंज के समीकरण. सामान्यीकृत आवेग, ऊर्जा। चक्रीय निर्देशांक. हैमिल्टन फ़ंक्शन और हैमिल्टन समीकरण।
लैग्रेंज फ़ंक्शन.
7) हार्मोनिक कंपन. आयाम. आवृत्ति। स्प्रिंग पेंडुलम, गणितीय पेंडुलम, भौतिक पेंडुलम।
हार्मोनिक कंपन.
हार्मोनिक दोलन कुछ मात्रा के आवधिक परिवर्तन की एक घटना है, जिसमें तर्क पर निर्भरता में साइन या कोसाइन फ़ंक्शन का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, एक मात्रा जो समय के साथ निम्नानुसार बदलती रहती है, सामंजस्यपूर्ण रूप से उतार-चढ़ाव होती है:
कहाँ एक्स- बदलती मात्रा का मूल्य, टी- समय, अन्य पैरामीटर - स्थिरांक: ए- दोलन आयाम, ω - दोलनों की चक्रीय आवृत्ति, - दोलनों का पूर्ण चरण, - दोलनों का प्रारंभिक चरण।
विभेदक रूप में सामान्यीकृत हार्मोनिक दोलन
(इस अंतर समीकरण का कोई भी गैर-तुच्छ समाधान चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक दोलन है)
§ मुक्त कंपनसिस्टम को संतुलन से बाहर लाने के बाद सिस्टम की आंतरिक शक्तियों की कार्रवाई के तहत बनाया जाता है। मुक्त दोलनों के हार्मोनिक होने के लिए, यह आवश्यक है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और इसमें कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होना चाहिए (बाद वाला भिगोना का कारण होगा)।
§ जबरदस्ती कंपनकिसी बाहरी आवधिक बल के प्रभाव में किया गया। उनके हार्मोनिक होने के लिए, यह पर्याप्त है कि दोलन प्रणाली रैखिक हो (गति के रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित), और बाहरी बल समय के साथ हार्मोनिक दोलन के रूप में बदलता है (अर्थात, इस बल की समय निर्भरता साइनसॉइडल है)।
आयाम.
आयाम - दोलन या तरंग गति के दौरान औसत मूल्य से किसी चर के विस्थापन या परिवर्तन का अधिकतम मूल्य। एक गैर-नकारात्मक अदिश राशि, जिसका आयाम परिभाषित भौतिक मात्रा के आयाम से मेल खाता है।
अन्यथा: आयाम - संतुलन स्थिति से शरीर के अधिकतम विचलन का मॉड्यूल। उदाहरण के लिए:
§ किसी पिंड के यांत्रिक कंपन (कंपन) के लिए आयाम, किसी तार या स्प्रिंग पर तरंगों के लिए - यह दूरी है और लंबाई की इकाइयों में लिखी जाती है।
आवृत्ति।
आवृत्ति- एक भौतिक मात्रा, एक आवधिक प्रक्रिया की विशेषता, समय की प्रति इकाई पूरी की गई प्रक्रिया के पूर्ण चक्रों की संख्या के बराबर। सूत्रों में मानक अंकन , , या है। आवृत्ति की SI इकाई सामान्यतः Hz होती है। आवृत्ति के व्युत्क्रम को आवर्त कहा जाता है।
प्रकृति में आवधिक प्रक्रियाओं को ~10 −16 हर्ट्ज़ (गैलेक्सी के केंद्र के चारों ओर सूर्य की क्रांति की आवृत्ति) से लेकर ~1035 हर्ट्ज़ (सबसे उच्च-ऊर्जा ब्रह्मांडीय किरणों की विशेषता क्षेत्र दोलनों की आवृत्ति) तक की आवृत्तियों के साथ जाना जाता है।
स्प्रिंग पेंडुलम.
स्प्रिंग पेंडुलम एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें लोच (कठोरता) k (हुक का नियम) के गुणांक के साथ एक स्प्रिंग होता है, जिसका एक छोर कठोरता से तय होता है, और दूसरे पर द्रव्यमान m का भार होता है।
जब एक लोचदार बल किसी विशाल पिंड पर कार्य करता है और उसे संतुलन स्थिति में लौटाता है, तो वह इस स्थिति के चारों ओर दोलन करता है। ऐसे पिंड को स्प्रिंग पेंडुलम कहा जाता है। कंपन किसी बाहरी शक्ति के कारण होता है। वे दोलन जो बाहरी बल के कार्य करना बंद करने के बाद भी जारी रहते हैं, मुक्त दोलन कहलाते हैं। किसी बाहरी बल की क्रिया के कारण होने वाले दोलनों को मजबूर कहा जाता है। इस मामले में, बल को ही सम्मोहक कहा जाता है।
सबसे सरल मामले में, एक स्प्रिंग पेंडुलम एक क्षैतिज विमान के साथ चलने वाला एक कठोर शरीर है, जो एक स्प्रिंग द्वारा दीवार से जुड़ा होता है।
गणितीय पेंडुलम.
गणितीय पेंडुलम- एक थरथरानवाला, जो एक यांत्रिक प्रणाली है जिसमें गुरुत्वाकर्षण बलों के एक समान क्षेत्र में भार रहित अवितानीय धागे पर या भार रहित छड़ पर स्थित एक भौतिक बिंदु होता है। लंबाई के गणितीय पेंडुलम के छोटे प्राकृतिक दोलनों की अवधि एलमुक्त गिरावट त्वरण के साथ एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गतिहीन रूप से निलंबित जीके बराबर होती है
और पेंडुलम के आयाम और द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
एक छड़ के साथ एक सपाट गणितीय पेंडुलम एक डिग्री की स्वतंत्रता वाला एक सिस्टम है। यदि रॉड को एक तन्य धागे से बदल दिया जाता है, तो यह एक कनेक्शन के साथ स्वतंत्रता की दो डिग्री वाली प्रणाली है। एक स्कूल समस्या का एक उदाहरण जिसमें स्वतंत्रता की एक से दो डिग्री में संक्रमण महत्वपूर्ण है।
छोटे दोलनों के लिए, एक भौतिक पेंडुलम उसी तरह से दोलन करता है जैसे कि कम लंबाई वाला गणितीय पेंडुलम।
भौतिक पेंडुलम.
एक भौतिक पेंडुलम एक थरथरानवाला है, जो एक कठोर शरीर है जो किसी बिंदु के बारे में किसी भी बल के क्षेत्र में दोलन करता है जो इस शरीर के द्रव्यमान का केंद्र नहीं है, या बलों की दिशा के लंबवत एक निश्चित अक्ष है और इस शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरता है।
8) घर्षण के साथ कंपन. विघटनकारी कार्य.
वास्तविक प्रणालियों में, ऊर्जा अपव्यय हमेशा होता रहता है। यदि बाहरी उपकरणों द्वारा ऊर्जा हानि की भरपाई नहीं की जाती है, तो समय के साथ दोलन कम हो जाएंगे और अंततः पूरी तरह से बंद हो जाएंगे। एक चिपचिपे माध्यम में स्प्रिंग पेंडुलम के दोलनों पर विचार करें।
एक सजातीय चिपचिपे माध्यम में गतिमान किसी पिंड के लिए, घर्षण बल केवल गति पर निर्भर करता है। कम गति पर, हम यह मान सकते हैं कि घर्षण बल
, जहां बीटा एक सकारात्मक स्थिरांक गुणांक है।
ऊर्जा के लिए
निष्कर्ष.
· घर्षण बल की उपस्थिति में प्राकृतिक दोलनों की प्रकृति और के बीच के अनुपात से निर्धारित होती है। पर - एपेरियोडिक मोड (3); - उतार-चढ़ाव का वर्णन एक आवधिक नियम द्वारा किया जाता है जिसका आयाम समय के साथ तेजी से घटता है (4); - क्रिटिकल डंपिंग मोड (5)।
· एक दोलन प्रणाली का गुणवत्ता कारक प्रणाली में अपव्यय प्रक्रियाओं को दर्शाने वाला एक बहुत ही महत्वपूर्ण पैरामीटर है।
विघटनकारी कार्य(स्कैटरिंग फ़ंक्शन) - आदेशित गति की ऊर्जा के अव्यवस्थित गति की ऊर्जा में, अंततः गर्मी में संक्रमण को ध्यान में रखने के लिए शुरू किया गया एक फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, एक यांत्रिक प्रणाली की गति पर चिपचिपा घर्षण बलों के प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए। विघटनकारी कार्य इस प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा में कमी की डिग्री को दर्शाता है। निरपेक्ष तापमान से विभाजित विघटनकारी कार्य उस दर को निर्धारित करता है जिस पर सिस्टम में एन्ट्रापी बढ़ती है (तथाकथित एन्ट्रापी उत्पादन)। विघटनकारी कार्य में शक्ति का आयाम होता है।
9) बिना घर्षण के जबरन कंपन. धड़कता है। प्रतिध्वनि।
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पेज निर्माण दिनांक: 2016-08-20
लिखित:ऊर्जा कहीं लुप्त नहीं होती, वह एक प्रकार से दूसरे प्रकार में बदल जाती है, और कहीं से उत्पन्न नहीं होती।
ऊर्जा को यांत्रिक कार्य में या में परिवर्तित किया जा सकता है।
एक बंद प्रणाली की कुल ऊर्जा एक स्थिर मान है: E \u003d E से + E p
उदाहरण के लिए: 2 किलो वजन वाले शरीर को 1 मीटर की ऊंचाई तक उठाया जाएगा, इस ऊंचाई पर संभावित शरीर ई पी \u003d एमजीएच \u003d 20 जे, जैसे-जैसे शरीर गिरता है, ऊंचाई कम हो जाती है, संभावित ऊर्जा भी कम हो जाती है। साथ ही शरीर की गति बढ़ने लगती है, जिसके परिणामस्वरूप गतिज ऊर्जा भी बढ़ जाती है। इससे पता चलता है कि ऊर्जा विभव से गतिज की ओर जाती है। सतह को छूने के क्षण में, स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है, गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है और शुरुआत की तरह ही 20 J के बराबर होती है। यदि शरीर प्रत्यास्थ रूप से परावर्तित होता है, तो जैसे-जैसे यह ऊंचाई तक बढ़ता है, गतिज ऊर्जा कम हो जाएगी और स्थितिज ऊर्जा में बदल जाएगी। 
कार्य:एक गेंद को पृथ्वी की सतह से लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध नगण्य है. गेंद की प्रारंभिक गति में 2 गुना वृद्धि के साथ, गेंद की ऊंचाई
1) √ 2 गुना बढ़ जाएगा
2) 2 गुना बढ़ जाएगी
3) 4 गुना बढ़ जाएगी
4) नहीं बदलेगा
व्यायाम: 600 मीटर/सेकंड की गति से चलती हुई एक गोली ने 1.5 सेमी मोटे बोर्ड को छेद दिया और बोर्ड से बाहर निकलने पर इसकी गति 300 मीटर/सेकेंड थी। यदि गोली पर लगने वाला औसत कर्षण बल 81 kN है, तो गोली का द्रव्यमान निर्धारित करें।
m द्रव्यमान का एक पिंड प्रारंभिक वेग υ 0 के साथ पृथ्वी से लंबवत ऊपर की ओर फेंका गया है और ऊंचाई h 0 तक पहुंच गया है। वायु प्रतिरोध नगण्य है. किसी मध्यवर्ती ऊंचाई h पर पिंड की कुल यांत्रिक ऊर्जा है 
समाधान:चूँकि वायु प्रतिरोध नगण्य है, इसलिए सिस्टम की कुल ऊर्जा नहीं बदलती है। किसी मध्यवर्ती ऊंचाई h पर शरीर की कुल यांत्रिक ऊर्जा अधिकतम ऊंचाई mgh 0 पर ऊर्जा के बराबर है।
उत्तर: 2
भौतिकी में OGE कार्य (fipi):गेंद बिना घर्षण के झुकी हुई ढलान से नीचे की ओर चलती है। ऐसी गति के लिए गेंद की ऊर्जा के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
1) गेंद की गतिज ऊर्जा बढ़ती है, इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा नहीं बदलती है।
2) गेंद की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है, इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा नहीं बदलती।
3) गेंद की गतिज ऊर्जा और कुल यांत्रिक ऊर्जा दोनों बढ़ जाती हैं।
4) गेंद की स्थितिज ऊर्जा और कुल यांत्रिक ऊर्जा दोनों घट जाती हैं।
समाधान:जैसे-जैसे आप नीचे जाते हैं, गेंद की गति बढ़ती जाती है। अत: गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। चूँकि कोई घर्षण नहीं है, और सिस्टम को बंद माना जा सकता है, कुल यांत्रिक ऊर्जा नहीं बदलती है।
उत्तर: 1
भौतिकी में OGE कार्य (fipi):एक मालवाहक कार कम गति से क्षैतिज ट्रैक पर चलती हुई दूसरी कार से टकराकर रुक जाती है। यह बफ़र स्प्रिंग को संपीड़ित करता है। इस प्रक्रिया में निम्नलिखित में से कौन सा ऊर्जा परिवर्तन होता है?
1) कार की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है
2) कार की गतिज ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है
3) स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है
4) स्प्रिंग की आंतरिक ऊर्जा कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है
समाधान:सबसे पहले कार चल रही थी, इसलिए उसमें गतिज ऊर्जा थी। टक्कर के दौरान, स्प्रिंग संपीड़ित हो गया था, अर्थात। कार की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है
पिंडों की गतिज और संभावित ऊर्जा का योग जो एक बंद प्रणाली बनाते हैं और गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, अपरिवर्तित रहता है।
यह कथन व्यक्त करता है यांत्रिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा संरक्षण का नियम . यह न्यूटन के नियमों का परिणाम है। मात्रा इ = ई के + एपिबुलाया पूर्ण यांत्रिक ऊर्जा . यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम तभी पूरा होता है जब एक बंद प्रणाली में पिंड रूढ़िवादी ताकतों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, यानी ऐसी ताकतें जिनके लिए संभावित ऊर्जा की अवधारणा पेश की जा सकती है।
टिकट 11
पिंड की जड़ता के क्षणों के मैट्रिक्स के संदर्भ में एक निश्चित बिंदु के साथ किसी पिंड के कोणीय संवेग की अभिव्यक्ति।
इसका एक कठोर शरीर है, जिसका एक बिंदु स्थिर है। पिंड की गति को किसी समन्वय प्रणाली О xyz के सापेक्ष माना जाता है।
एक निश्चित बिंदु के सापेक्ष गतिज क्षण:
जहाँ r k शरीर के किसी बिंदु का त्रिज्या सदिश है। एम के - बिंदु द्रव्यमान। वी के - चयनित संदर्भ प्रणाली के सापेक्ष इस बिंदु की गति।
यूलर फार्मूला
अक्ष पर प्रक्षेपण में:
O x अक्ष पर कोणीय गति के प्रक्षेपण के लिए, (2') को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है: 
(1') का योग क्रमशः जड़त्व के अक्षीय और केन्द्रापसारक क्षण हैं। हम पाते हैं: 
(3) के अनुसार, पिंड के निश्चित बिंदु के सापेक्ष कोणीय गति के समन्वय अक्षों पर प्रक्षेपण की गणना की जाती है। अनुमानों के अनुसार कोणीय गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: 
स्थिर अक्षों के लिए, जड़ता के अक्षीय और केन्द्रापसारक क्षण शरीर के घूमने के साथ बदलते हैं और इसलिए, इन अक्षों के सापेक्ष शरीर की स्थिति में बदलाव के कारण समय पर निर्भर होते हैं।
यदि हम जड़त्व टेंसर लागू करते हैं: 
और वेक्टर कॉलम ओमेगा द्वारा टेंसर के गुणन के नियम को ध्यान में रखें, तो इसे सूत्र द्वारा संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है:।
हम अनुमानों के लिए सूत्र (3) को सरल बनाते हैं:
इस मामले में, कोणीय गति के अनुमानों की गणना उसी तरह की जाती है जैसे कि जड़ता के प्रत्येक मुख्य अक्ष शरीर के घूर्णन की एक निश्चित धुरी थी। निश्चित बिंदु O के लिए मुख्य जड़त्व अक्ष आमतौर पर घूमने वाले पिंड से जुड़े हुए गतिशील अक्ष होते हैं। केवल ऐसी अक्षें ही पिंड के घूर्णन के पूरे समय के दौरान प्रमुख हो सकती हैं। अन्य गतिशील या स्थिर अक्ष केवल निश्चित समय पर ही मास्टर हो सकते हैं।
स्थानांतरीय गति की गतिज ऊर्जा
सिस्टम की गतिज ऊर्जा को अदिश मान T कहा जाता है, जो सिस्टम के सभी बिंदुओं की गतिज ऊर्जा के अंकगणितीय योग के बराबर है
गतिज ऊर्जा प्रणाली की अनुवादात्मक और घूर्णी गति दोनों की एक विशेषता है, इसलिए, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग विशेष रूप से समस्याओं को हल करने में किया जाता है।
यदि सिस्टम में कई निकाय शामिल हैं, तो इसकी गतिज ऊर्जा स्पष्ट रूप से इन निकायों की गतिज ऊर्जा के योग के बराबर है:
गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है और सदैव धनात्मक मात्रा होती है।
आइए गति के विभिन्न मामलों में शरीर की गतिज ऊर्जा की गणना के लिए सूत्र खोजें।
1. अनुवादात्मक आंदोलन. इस मामले में, शरीर के सभी बिंदु द्रव्यमान के केंद्र की गति के बराबर, एक ही गति से चलते हैं। यानी किसी भी बिंदु के लिए
इस प्रकार, स्थानांतरीय गति में किसी पिंड की गतिज ऊर्जा पिंड के द्रव्यमान के आधे गुणनफल और द्रव्यमान वेग के केंद्र के वर्ग के गुणनफल के बराबर होती है।ऑफ डायरेक्शन मान टीनिर्भर नहीं करता.
टिकट 12
एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर पिंड के घूमने का विभेदक समीकरण
विभेदक समीकरण का रूप है:
, (2.6)
कहाँ 
शरीर का कोणीय त्वरण है।
प्रमेय के समीकरण (2.4) में सूत्र (2.3) प्रतिस्थापित करके समीकरण (2.6) प्राप्त किया जाता है।
(2.3)
(2.4)
समीकरण (2.6) को एकीकृत करके, कोई शरीर के घूमने का नियम निर्धारित कर सकता है। ऐसी समस्याओं के समाधान के तरीके:
- शरीर को मनमानी स्थिति में चित्रित करें; शरीर पर कार्य करने वाली बाह्य शक्तियों को दिखा सकेंगे; हम पिंड के घूर्णन अक्ष के अनुदिश उस दिशा में निर्देशित अक्ष को दिखाते हैं जिस दिशा से घूर्णन वामावर्त होता हुआ दिखाई देता है;
- हम अक्ष के चारों ओर बाहरी बलों के क्षणों का योग पाते हैं;
- हम गणना करते हैं, यदि सेट नहीं है, तो शरीर की जड़ता का क्षण;
- समीकरण (2.6) बनाएं, इस समीकरण को एकीकृत करके, हम शरीर के घूर्णन के नियम को निर्धारित करते हैं।
संभावित बल
बलों का वह क्षेत्र जो समय में स्थिर रहता है, स्थिर कहलाता है। एक स्थिर बल क्षेत्र में, किसी कण पर लगने वाला बल केवल उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। किसी कण को बिंदु 1 से बिंदु 2 तक ले जाते समय क्षेत्र बलों द्वारा किया गया कार्य, आम तौर पर, उस प्रक्षेप पथ पर निर्भर करता है जिसके साथ कण प्रारंभिक स्थिति से अंतिम स्थिति तक चलता है। साथ ही, स्थिर बल क्षेत्र भी होते हैं जिनमें क्षेत्र बलों द्वारा कणों पर किया गया कार्य बिंदु 1 और 2 के बीच प्रक्षेपवक्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है। इस संपत्ति वाले बलों को संभावित या रूढ़िवादी कहा जाता है, और संबंधित बल क्षेत्र को संभावित क्षेत्र कहा जाता है। संभावित बलों का एक उदाहरण लोचदार बल, गुरुत्वाकर्षण हैं।
टिकट 13 1. समतल-समानांतर (या समतल) किसी कठोर पिंड की ऐसी गति है, जिस पर उसके सभी बिंदु किसी निश्चित समतल P के समानांतर चलते हैं।  स्थिर तल P के समानांतर किसी समतल OXY द्वारा पिंड के एक खंड पर विचार करें (चित्र 1)। समतल P पर समान रूप से आगे बढ़ें। इसलिए, पूरे शरीर की गति का अध्ययन करने के लिए, यह अध्ययन करना पर्याप्त है कि शरीर का खंड OXY तल में कैसे चलता है। भविष्य में, हम OXY तल को आकृति के तल के साथ जोड़ेंगे, और पूरे शरीर के बजाय, केवल उसके अनुभाग को चित्रित करेंगे। OXY तल में अनुभाग की स्थिति इस अनुभाग में खींचे गए कुछ खंड AB की स्थिति से निर्धारित होती है (चित्र 2)। खंड AB की स्थिति बिंदु A के निर्देशांक और खंड AB द्वारा x-अक्ष के साथ बनाए गए कोण को जानकर निर्धारित की जा सकती है। खंड की स्थिति निर्धारित करने के लिए चुने गए बिंदु ए को ध्रुव कहा जाता है। जब पिंड गति करता है, तो मात्राएँ बदल जाती हैं: (1.74) वे समीकरण जो चल रही गति के नियम को निर्धारित करते हैं, कहलाते हैं समतल-समानांतर गति के समीकरणठोस बॉडी। 2. किसी भी समय सिस्टम के सभी आंतरिक बलों (किसी भी चुने हुए केंद्र के सापेक्ष) का मुख्य क्षण शून्य (एम ओ आई = 0) के बराबर होता है। एम-वेक्टर। या । आंतरिक बल तब संतुलित होंगे जब विचाराधीन प्रणाली बिल्कुल कठोर निकाय होगी। दरअसल, अगर हम एक मनमाना केंद्र लेते हैं के बारे में, फिर चित्र से। यह स्पष्ट है कि  .
 | टिकट 14 1. सिस्टम की गतिज ऊर्जा सिस्टम में शामिल सभी भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जा का योग है; आगे की गति में:ई=एमवी 2/2; एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते समय: ई=आई जेड वी 2/2; समतल-समानांतर गति में: E=mV C 2 /2-I Z v 2 /2, जहां V C द्रव्यमान केंद्र की गति है, v कोणीय वेग है। एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा द्रव्यमान गति के केंद्र की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गति की ऊर्जा है: E=E 0 +E R, जहां E प्रणाली की कुल गतिज ऊर्जा है, E 0 द्रव्यमान गति के केंद्र की गतिज ऊर्जा है, E R प्रणाली की सापेक्ष गतिज ऊर्जा है। दूसरे शब्दों में, जटिल गति में किसी पिंड या पिंडों के सिस्टम की कुल गतिज ऊर्जा, स्थानांतरीय गति में सिस्टम की ऊर्जा और द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष गोलाकार गति में सिस्टम की ऊर्जा के योग के बराबर होती है। 2. स्वतंत्रता की कोटियां गति और/या घूर्णन के स्वतंत्र निर्देशांक का एक सेट है, जो सिस्टम या बॉडी की स्थिति को पूरी तरह से निर्धारित करता है (और उनके समय डेरिवेटिव के साथ - संबंधित गति - पूरी तरह से निर्धारित करता है राज्ययांत्रिक प्रणाली या शरीर - अर्थात, उनकी स्थिति और गति)। सामान्यीकृत निर्देशांक (डी.सी.) सिस्टम ऐसी मात्राओं को कहा जाता है जो कई स्वतंत्र कार्टेशियन निर्देशांकों को कोणों, रैखिक दूरियों, क्षेत्रों में सामान्यीकृत करती हैं। सुविधा इस बात में है कि ठीक है. आरोपित संबंधों को ध्यान में रखते हुए चुना जा सकता है, अर्थात। लगाए गए कनेक्शनों की समग्रता द्वारा सिस्टम के लिए अनुमत आंदोलन की प्रकृति के अनुसार। |
टिकट
1) एक यांत्रिक प्रणाली की आंतरिक शक्तियों के लिए, संपत्ति होती है: यांत्रिक प्रणाली की आंतरिक शक्तियों का मुख्य वेक्टर और मुख्य क्षण शून्य के बराबर होता है।
.
यह इस तथ्य से पता चलता है कि आंतरिक बल प्रणाली के बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया के बल हैं, जो जोड़ीदार बराबर होते हैं और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होते हैं।
2) यदि सिस्टम की सभी ताकतें संभावित हैं, तो सिस्टम की सामान्यीकृत ताकतों को सिस्टम की संभावित ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जाता है क्यू जे \u003d -डीपी / क्यू जे, और दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरणों को फॉर्म में लिखा जा सकता है
चूँकि संभावित ऊर्जा सामान्यीकृत वेगों पर निर्भर नहीं करती है। आइए फ़ंक्शन का परिचय दें
टिकट 16.
1. किसी यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में विभेदक रूप में परिवर्तन पर प्रमेय
किसी यांत्रिक प्रणाली के कुछ विस्थापन पर उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उसी विस्थापन पर प्रणाली के बिंदुओं पर लागू बाहरी और आंतरिक बलों के कार्य के योग के बराबर होता है।
2. होल्डिंग और स्थिर लिंक
यदि कार्य स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर करता है, तो संबंध कहा जाता है गैर स्थिरया रियोनोमिक; यदि यह फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है, तो वे कहते हैं कि यह कनेक्शन है अचलया स्क्लेरोनोमा.
यदि संबंध समानता से दिया गया है, तो वे कहते हैं कि ऐसा संबंध है रोक रखनाया द्विपक्षीय:
टिकट 17
1 यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन पर प्रमेय
किसी प्रणाली की गतिज ऊर्जा प्रणाली के सभी पिंडों की गतिज ऊर्जा का योग है। इस प्रकार परिभाषित मात्रा के लिए, कथन सत्य है:
प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रणाली के पिंडों पर कार्यरत सभी आंतरिक और बाह्य बलों के कार्य के बराबर होता है।
2 होलोनोमिक बाधाएँ
होलोनोमिक कनेक्शन- यांत्रिक कनेक्शन, जो केवल सिस्टम के बिंदुओं और निकायों की स्थिति (या विस्थापन) पर प्रतिबंध लगाता है।
गणितीय रूप से समानता के रूप में व्यक्त किया गया:
टिकट 18
1. एक भौतिक बिंदु के लिए यूलर-डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत
इस सिद्धांत के अनुसार, सिस्टम के प्रत्येक i-वें बिंदु के लिए, समानता सत्य है, जहां इस बिंदु पर कार्य करने वाला सक्रिय बल है, बिंदु पर लगाए गए कनेक्शन की प्रतिक्रिया है, जड़ता का बल है, जो संख्यात्मक रूप से बिंदु के द्रव्यमान और उसके त्वरण के उत्पाद के बराबर है और इस त्वरण के विपरीत निर्देशित है ()
समतल गति में शरीर की 2 गतिज ऊर्जा
टिकट 19
कीनेटोस्टैटिक्स के समीकरण।
काइनेटोस्टैटिक्स- यांत्रिकी की एक शाखा जो स्थैतिक के विश्लेषणात्मक या ग्राफिकल तरीकों का उपयोग करके गतिशील समस्याओं को हल करने के तरीकों से संबंधित है। K. डी'अलेम्बर्ट सिद्धांत पर आधारित है, जिसके अनुसार पिंडों की गति के समीकरणों को स्थैतिक समीकरणों के रूप में संकलित किया जा सकता है, यदि शरीर पर वास्तव में कार्य करने वाले बलों और बांडों की प्रतिक्रियाओं में जड़ता बल जोड़ दिए जाते हैं। K. विधियों का उपयोग कई गतिशील समस्याओं को हल करने में किया जाता है, विशेष रूप से मशीनों और तंत्रों की गतिशीलता में।
किसी भौतिक बिंदु के लिए कीनेटोस्टैटिक्स समीकरण:
जहां एफ, आर, एफ सक्रिय बलों, बंधनों की प्रतिक्रियाओं और जड़ता बलों के मुख्य वैक्टर हैं;
Fz, Rz, Ф z - बिंदु O 1 के सापेक्ष सक्रिय बलों, बंधनों और जड़ता बलों की प्रतिक्रियाओं के मुख्य क्षण
यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम
यदि किसी बंद सिस्टम मेंबल, घर्षण और प्रतिरोध बल कार्य नहीं करते हैं , तो सिस्टम के सभी निकायों की गतिज और संभावित ऊर्जाओं का योग स्थिर रहता है.
यदि जो शरीर बनाते हैं बंद यांत्रिक प्रणाली, केवल गुरुत्वाकर्षण और लोच की शक्तियों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, तो इन बलों का कार्य निकायों की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, विपरीत संकेत के साथ लिया जाता है:
इस तरह
|
पिंडों की गतिज और संभावित ऊर्जा का योग जो एक बंद प्रणाली बनाते हैं और गुरुत्वाकर्षण और लोचदार बलों के माध्यम से एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, अपरिवर्तित रहता है।
यह कथन व्यक्त करता है यांत्रिक प्रक्रियाओं में ऊर्जा संरक्षण का नियम . यह न्यूटन के नियमों का परिणाम है। मात्रा इ=इ क +इ पीबुलाया पूर्ण यांत्रिक ऊर्जा . यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम तभी पूरा होता है जब एक बंद प्रणाली में पिंड रूढ़िवादी ताकतों द्वारा एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, यानी ऐसी ताकतें जिनके लिए संभावित ऊर्जा की अवधारणा पेश की जा सकती है।
किसी भी भौतिक अंतःक्रिया में, ऊर्जा उत्पन्न नहीं होती है और गायब नहीं होती है, बल्कि केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित होती है।
बी। घर्षण को ध्यान में रखते हुए
एक स्लैब (§ 102) पर उछलती गेंद की गति को करीब से देखने पर, कोई यह पा सकता है कि प्रत्येक हिट के बाद गेंद पहले की तुलना में थोड़ी कम ऊंचाई तक उठती है (चित्र 170), यानी। ई. कुल ऊर्जा बिल्कुल स्थिर नहीं रहती है, बल्कि धीरे-धीरे कम हो जाती है; इसका मतलब यह है कि ऊर्जा संरक्षण का नियम, जैसा कि हमने इसे तैयार किया है, इस मामले में केवल लगभग ही देखा जाता है। इसका कारण यह है कि इस प्रयोग में घर्षण बल उत्पन्न होते हैं: वायु प्रतिरोध जिसमें गेंद चलती है, और गेंद और प्लेट की सामग्री में आंतरिक घर्षण। सामान्य तौर पर, घर्षण की उपस्थिति में, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का हमेशा उल्लंघन होता है और पिंडों की स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग कम हो जाता है। ऊर्जा की इस हानि के कारण, घर्षण बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है 1).
प्लेट से कई परावर्तन के बाद गेंद की उछाल की ऊँचाई को कम करना।
उदाहरण के लिए, जब कोई पिंड काफी ऊंचाई से गिरता है, तो बढ़ते पर्यावरणीय प्रतिरोध बलों की कार्रवाई के कारण शरीर की गति जल्द ही स्थिर हो जाती है (§ 68); पिंड की गतिज ऊर्जा बदलना बंद हो जाती है, लेकिन जमीन से ऊपर उठने की स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है। वायु प्रतिरोध बल के विरुद्ध कार्य शरीर की स्थितिज ऊर्जा के कारण गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया जाता है। हालाँकि इस मामले में आसपास की हवा को कुछ गतिज ऊर्जा प्रदान की जाती है, लेकिन यह शरीर की संभावित ऊर्जा में कमी से कम होती है, और इसलिए, कुल यांत्रिक ऊर्जा कम हो जाती है।
गतिज ऊर्जा के कारण घर्षण बलों के विरुद्ध कार्य भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब एक नाव चलती है, जिसे तालाब के किनारे से दूर धकेल दिया जाता है, तो नाव की स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है, लेकिन पानी के प्रतिरोध के कारण नाव की गति, यानी उसकी गतिज ऊर्जा कम हो जाती है, और इस मामले में देखी गई पानी की गतिज ऊर्जा में वृद्धि नाव की गतिज ऊर्जा में कमी से कम होती है।
ठोस पिंडों के बीच घर्षण बल समान रूप से कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी झुके हुए तल पर फिसलने वाले भार द्वारा प्राप्त गति, और इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा, घर्षण की अनुपस्थिति में प्राप्त होने वाली गति से कम होती है। आप विमान के झुकाव का कोण चुन सकते हैं ताकि भार समान रूप से स्लाइड हो। साथ ही, इसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाएगी, जबकि इसकी गतिज ऊर्जा स्थिर रहेगी, और घर्षण बलों के विरुद्ध कार्य स्थितिज ऊर्जा की कीमत पर किया जाएगा।
प्रकृति में, सभी गतिविधियाँ (पूर्ण शून्यता में होने वाली गतिविधियों को छोड़कर, जैसे कि आकाशीय पिंडों की गतिविधियाँ) घर्षण के साथ होती हैं। इसलिए, ऐसे आंदोलनों के दौरान, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उल्लंघन होता है, और यह उल्लंघन हमेशा एक दिशा में होता है - कुल ऊर्जा में कमी की ओर।
सामान्य तौर पर, घर्षण की उपस्थिति में 1. यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का हमेशा उल्लंघन होता है और 2. पिंडों की स्थितिज और गतिज ऊर्जा का योग घट जाता है।" दूसरा सत्य है। पहला तो साफ़ झूठ है! कानून नहीं टूटा है. ड्यूरा लेक्स सेड लेक्स।
