एक समुच्चय पर द्विआधारी संबंध की अवधारणा। द्विआधारी रिश्ते. द्विआधारी संबंधों के उदाहरण. सममित द्विआधारी संबंध

व्याख्यान 3.

खण्ड 3. सेट पर रिश्ते. द्विआधारी संबंधों के गुण.

3.1. द्विआधारी रिश्ते.

जब वे दो लोगों के रिश्ते के बारे में बात करते हैं, उदाहरण के लिए, सर्गेई और अन्ना, तो उनका मतलब है कि एक निश्चित परिवार है जिससे वे संबंधित हैं। एक ऑर्डर किया गया जोड़ा (सर्गेई, अन्ना) अन्य ऑर्डर किए गए लोगों के जोड़े से इस मायने में भिन्न होता है कि सर्गेई और अन्ना (चचेरे भाई, पिता, आदि) के बीच किसी तरह का रिश्ता होता है।

गणित में, दो सेटों के प्रत्यक्ष उत्पाद के सभी क्रमित जोड़े के बीच एऔर बी (ए´ बी) "विशेष" जोड़ियों को इस तथ्य के कारण भी प्रतिष्ठित किया जाता है कि उनके घटकों के बीच कुछ "रिश्तेदारी" रिश्ते होते हैं जो दूसरों के पास नहीं होते हैं। उदाहरण के तौर पर, सेट पर विचार करें एसकुछ विश्वविद्यालय के छात्र और कई कवहां पढ़ाये जाने वाले पाठ्यक्रम. प्रत्यक्ष उत्पाद में एस´ ककोई क्रमित युग्मों का एक बड़ा उपसमूह चुन सकता है ( एस, क) संपत्ति होना: छात्र एसका कोर्स कर रहा है क. निर्मित उपसमुच्चय "...सुनता है..." संबंध को दर्शाता है जो स्वाभाविक रूप से छात्रों और पाठ्यक्रमों के समूह के बीच उत्पन्न होता है।

दो सेटों के तत्वों के बीच किसी भी संबंध के सख्त गणितीय विवरण के लिए, हम एक द्विआधारी संबंध की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3.1. द्विआधारी (या दोहरा )नज़रिया आरसेट के बीच एऔर बीएक मनमाना उपसमुच्चय कहा जाता है ए´ बी, अर्थात।

विशेषकर, यदि ए=बी(अर्थात् rÍ ए 2), तो वे कहते हैं कि r सेट पर एक संबंध है एक।

तत्वों एऔर बीकहा जाता है अवयव (या COORDINATES ) संबंध आर.

टिप्पणी। आइए सहमत हैं कि सेट के तत्वों के बीच संबंधों को दर्शाने के लिए ग्रीक वर्णमाला का उपयोग करें: आर, टी, जे, एस, डब्ल्यू, आदि।

परिभाषा 3.2. परिभाषा का क्षेत्र डीआर=( ए| $ बी, क्या एआर बी) (बाईं तरफ)। मूल्यों की श्रृंखला किसी द्विआधारी संबंध के r को समुच्चय कहा जाता है आरआर=( बी| $ ए, क्या एआर बी) (दाहिना भाग).

उदाहरण 3. 1. दो सेट दिए जाएं ए=(1; 3; 5; 7) और बी=(2; 4; 6). आइए संबंध को इस प्रकार सेट करें t=(( एक्स; य)Î ए´ बी | एक्स+य=9). इस संबंध में निम्नलिखित जोड़े शामिल होंगे (3; 6), (5; 4) और (7; 2), जिसे t=((3; 6), (5; 4), (7;2) के रूप में लिखा जा सकता है ) ). इस उदाहरण में डीटी=(3; 5; 7) और आरटी= बी={2; 4; 6}.

उदाहरण 3. 2. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर समानता संबंध समुच्चय r=(( एक्स; य) | एक्सऔर य– वास्तविक संख्याएं और एक्सके बराबर होती है य). इस संबंध के लिए एक विशेष संकेतन है: "="। परिभाषा का क्षेत्र मानों के क्षेत्र से मेल खाता है और वास्तविक संख्याओं का समूह है, डीआर= आरआर।

उदाहरण 3. 3. होने देना ए- दुकान में बहुत सारा सामान, और बी– वास्तविक संख्याओं का समुच्चय. फिर j=(( एक्स; य)Î ए´ बी | य- कीमत एक्स) – समुच्चय का संबंध एऔर बी.

यदि आप उदाहरण 3.1 पर ध्यान दें, तो आप देखेंगे कि यह संबंध सबसे पहले फॉर्म t=(( में निर्दिष्ट किया गया था) एक्स; य)Î ए´ बी | एक्स+य=9), और फिर t=((3; 6), (5;4), (7;2)) के रूप में लिखा गया। इससे पता चलता है कि सेट (या एक सेट) पर संबंधों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। आइए द्विआधारी संबंधों को परिभाषित करने के तरीकों पर नजर डालें।

रिश्तों को परिभाषित करने की विधियाँ:

1) एक उपयुक्त विधेय का उपयोग करना;

2) क्रमित जोड़ियों का एक सेट;

3) चित्रमय रूप में: चलो एऔर बी- दो परिमित समुच्चय और r - उनके बीच एक द्विआधारी संबंध। इन सेटों के तत्वों को समतल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। संबंधों के प्रत्येक क्रमित जोड़े के लिए, r जोड़े के घटकों का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं को जोड़ने वाला एक तीर खींचता है। ऐसी वस्तु को कहा जाता है निर्देशित ग्राफया संयुक्ताक्षर, समुच्चय के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं को आमतौर पर कहा जाता है ग्राफ़ के शीर्ष.

4) एक मैट्रिक्स के रूप में: चलो ए={ए 1, ए 2, …, एक) और बी={बी 1, बी 2, …, बी.एम.), आर – अनुपात पर ए´ बी. मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व r को मैट्रिक्स कहा जाता है एम=[मिज] आकार एन´ एम, संबंधों द्वारा परिभाषित

.

वैसे, मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व कंप्यूटर में किसी संबंध का प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण 3. 4. दो सेट दिए जाएं ए=(1; 3; 5; 7)और बी=(2; 4; 6). संबंध इस प्रकार दिया गया है t=(( एक्स; य) | एक्स+य=9). इस संबंध को मैट्रिक्स के रूप में क्रमित युग्मों के एक सेट, एक डिग्राफ के रूप में परिभाषित करें।

समाधान। 1) t=((3; 6), (5; 4), (7; 2)) - क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में एक संबंध की परिभाषा है;

2) संबंधित निर्देशित ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_92.gif" width="125" ऊंचाई="117">. ,

उदाहरण 3. 5 . उदाहरण के तौर पर हम प्रस्तावित पर विचार कर सकते हैं जे वॉन न्यूमैन(1903-1957) एक अनुक्रमिक कंप्यूटर का ब्लॉक आरेख, जिसमें कई उपकरण शामिल हैं एम:

,

कहाँ ए- इनपुट डिवाइस, बी– अंकगणितीय उपकरण (प्रोसेसर), सी- नियंत्रण उपकरण, डी- मेमोरी डिवाइस, इ- आउटपुट डिवाइस।

आइए उपकरणों के बीच सूचना के आदान-प्रदान पर विचार करें एम आईऔर एमजे, जो डिवाइस से संबंध आर में हैं एम आईजानकारी डिवाइस में प्रवेश करती है एमजे.

इस द्विआधारी संबंध को इसके सभी 14 क्रमित तत्वों के जोड़े को सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जा सकता है:

इस द्विआधारी संबंध को परिभाषित करने वाला संबंधित डिग्राफ चित्र में प्रस्तुत किया गया है:

इस द्विआधारी संबंध का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है:

. ,

द्विआधारी संबंधों के लिए, सेट-सैद्धांतिक संचालन को सामान्य तरीके से परिभाषित किया जाता है: संघ, प्रतिच्छेदन, आदि।

आइए हम रिश्ते की एक सामान्यीकृत अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 3.3. n-स्थान (एन-एआरवाई ) संबंध r प्रत्यक्ष उत्पाद का एक उपसमुच्चय है एनसेट, यानी ऑर्डर किए गए सेट का एक सेट ( टुपल्स )

री ए 1 एक={(ए 1, …, एक)| ए 1О ए 1Ù...Ù एकÎ एक}

इसका उपयोग करके बहु-स्थान संबंधों को परिभाषित करना सुविधाजनक है संबंधपरक तालिकाएँ . यह कार्य सेट की गणना करने से संबंधित है एन-संबंध आर. कंप्यूटर अभ्यास में रिलेशनल डेटाबेस में रिलेशनल तालिकाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। ध्यान दें कि संबंधपरक तालिकाओं का उपयोग रोजमर्रा के अभ्यास में किया जाता है। सभी प्रकार की उत्पादन, वित्तीय, वैज्ञानिक और अन्य रिपोर्टें अक्सर संबंधपरक तालिकाओं का रूप लेती हैं।

शब्द " रिलेशनल"लैटिन शब्द से आया है रिश्ता, जिसका रूसी में अनुवाद "रवैया" है। इसलिए, साहित्य में, पत्र का उपयोग रिश्ते को दर्शाने के लिए किया जाता है आर(लैटिन) या आर (ग्रीक)।

परिभाषा 3.4.चलो री ए´ बीके प्रति एक दृष्टिकोण है ए´ बी।तब अनुपात r-1 कहलाता है उलटा संबंध किसी दिए गए अनुपात के लिए r द्वारा ए´ बी, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

r-1=(( बी, ए) | (ए, बी)इर).

परिभाषा 3.5.चलो आर Н ए´ बीके प्रति एक दृष्टिकोण है ए´ बी,ए एस एच बी´ सी -के प्रति दृष्टिकोण बी´ सी। संघटनरिश्ते s और r को संबंध t Н कहा जाता है ए´ सी, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

t=s◦r= (( ए, सी)| $बीÎ बी, क्या (ए, बी)इर और (बी, सी)है)।

उदाहरण 3. 6 . चलो और सी=(, !, डी, ए). और मान लीजिए कि अनुपात r है ए´ बीऔर अनुपात चालू है बी´ सीफॉर्म में दिए गए हैं:

आर=((1, एक्स), (1, य), (3, एक्स)};

एस=(( एक्स,), (एक्स, !), (य, डी), ( य, à)}.

r-1 और s◦r, r◦s खोजें।

समाधान। 1) परिभाषा के अनुसार r-1=(( एक्स, 1), (य, 1), (एक्स, 3)};

2) दो संबंधों की संरचना की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

s◦r=((1,), (1, !), (1, d), (1, а), (3,), (3, !)),

चूंकि (1, एक्स)आईआर और ( एक्स,)Îs इस प्रकार है (1,)Îs◦r;

1 से, एक्स)आईआर और ( एक्स, !)Îs इस प्रकार है (1, !)Îs◦r;

1 से, य)आईआर और ( य, d)Îs इस प्रकार है (1, d)Îs◦r;

से (3, एक्स)आईआर और ( एक्स, !)Îs इस प्रकार है (3, !)Îs◦r.

प्रमेय 3.1.किसी भी द्विआधारी संबंध के लिए निम्नलिखित गुण मौजूद हैं:

2) ;

3) - रचना की साहचर्यता.

सबूत।संपत्ति 1 स्पष्ट है.

आइए संपत्ति 2 को साबित करें। दूसरी संपत्ति को साबित करने के लिए, हम दिखाएंगे कि समानता के बाईं और दाईं ओर लिखे गए सेट समान तत्वों से बने होते हैं। होने देना ( ए; बी) О (s◦r)-1 Û ( बी; ए) О s◦r Û $ सीऐसा है कि ( बी; सी) ओ आर और ( सी; ए) ओ एस Û $ सीऐसा है कि ( सी; बी) О r-1 और ( ए; सी) О s-1 Ш ( ए; बी) О r -1◦s -1.

संपत्ति 3 स्वयं सिद्ध करें।

3.2. द्विआधारी संबंधों के गुण.

आइए सेट पर द्विआधारी संबंधों के विशेष गुणों पर विचार करें ए.

द्विआधारी संबंधों के गुण.

1. अनुपात आर पर ए´ एबुलाया चिंतनशील , अगर ( ए,ए) सभी के लिए आर से संबंधित है एसे ए.

2. संबंध को r कहा जाता है एंटी-रेफलेक्टिव , यदि से ( ए,बी)मैं अनुसरण करता हूं ए¹ बी.

3. अनुपात आर संतुलित , यदि के लिए एऔर बीसे संबंधित ए, से ( ए,बी)या यह इस प्रकार है कि ( बी,ए)इर.

4. संबंध को r कहा जाता है antisymmetric , यदि के लिए एऔर बीसे ए, अपनेपन से ( ए,बी) और ( बी,ए) संबंध r का तात्पर्य यह है ए=बी.

5. अनुपात आर संक्रामक , यदि के लिए ए, बीऔर सीसे एइस तथ्य से कि ( ए,बी)आईआर और ( बी,सी)अरे, यह इस प्रकार है कि ( ए,सी)इर.

उदाहरण 3. 7. होने देना ए=(1; 2; 3; 4; 5; 6). इस सेट पर संबंध rÍ दिया गया है ए 2, जिसका रूप है: r=((1, 1), (2, 2), (3, 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (1; 2) ) , (1; 4), (2; 1), (2;4), (3;5), (5; 3), (4; 1), (4; 2))। इस रिश्ते में क्या गुण हैं?

समाधान। 1) यह रिश्ता प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रत्येक के लिए एÎ ए, (ए; ए)इर.

2) संबंध विरोधी प्रतिवर्ती नहीं है, क्योंकि इस संपत्ति की स्थिति संतुष्ट नहीं है। उदाहरण के लिए, (2, 2)r, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 2¹2।

3) सभी संभावित मामलों पर विचार करें, यह दर्शाते हुए कि संबंध r सममित है:

	(ए, बी)इर	(बी, ए)	(बी, ए)इर?

4) यह संबंध एंटीसिमेट्रिक नहीं है, क्योंकि (1, 2)Îr और (2,1)Îr, लेकिन इससे यह निष्कर्ष नहीं निकलता है कि 1=2।

5) प्रत्यक्ष गणना विधि का उपयोग करके यह दिखाना संभव है कि संबंध r सकर्मक है।

	(ए, बी)इर	(बी, सी)इर	(ए, सी)	(ए, सी)इर?

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का उपयोग कैसे करें

द्विआधारी संबंध के गुण निर्धारित करें

1. रिफ्लेक्सिविटी:सभी मुख्य विकर्ण पर हैं; शून्य या एक को तारांकन द्वारा दर्शाया गया है।

.

2. प्रति-प्रतिक्रियाशीलता:मुख्य विकर्ण पर सभी शून्य.

3. समरूपता:अगर ।

4. एंटीसिममेट्री:मुख्य विकर्ण के बाहर के सभी तत्व शून्य हैं; मुख्य विकर्ण पर शून्य भी हो सकते हैं।

.

"*" ऑपरेशन निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है: , कहाँ , ।

5. परिवर्तनशीलता:अगर । ऑपरेशन "◦" सामान्य गुणन नियम के अनुसार किया जाता है, और इसे ध्यान में रखना आवश्यक है:।

3.3 तुल्यता संबंध. आंशिक आदेश संबंध.

तुल्यता संबंध उस स्थिति का औपचारिकीकरण है जब हम किसी समुच्चय के दो तत्वों की समानता (समानता) के बारे में बात करते हैं।

परिभाषा 3.6.अनुपात आर पर एवहाँ है समतुल्य संबंध, अगर यह प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक।तुल्यता संबंध एआर बीअक्सर दर्शाया जाता है: ए~ बी.

उदाहरण 3. 8 . पूर्णांकों के समुच्चय पर समानता संबंध एक तुल्यता संबंध है।

उदाहरण 3. 9 . "समान ऊंचाई" संबंध लोगों के एक समूह पर एक तुल्यता संबंध है एक्स.

उदाहरण 3. 1 0 . मान लीजिए ¢ पूर्णांकों का समुच्चय है। आइए दो संख्याओं के नाम बताएं एक्सऔर य¢ से मापांक में तुलनीयएम(एमО¥) और यदि इन संख्याओं को विभाजित करने पर शेषफल प्राप्त हो तो लिखिए एम, यानी अंतर ( एक्स-य) द्वारा विभाजित एम.

संबंध “मापांक में तुलनीय एमपूर्णांक" पूर्णांकों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है। वास्तव में:

यह संबंध प्रतिवर्ती है, क्योंकि " एक्स΢ हमारे पास है एक्स-एक्स=0, और इसलिए यह से विभाज्य है एम;

यह संबंध सममित है, क्योंकि यदि ( एक्स-य) द्वारा विभाजित एम, तब ( य-एक्स) से भी विभाज्य है एम;

यह संबंध सकर्मक है, क्योंकि यदि ( एक्स-य) द्वारा विभाजित एम, फिर कुछ पूर्णांक के लिए टी 1 हमारे पास यहां से https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_23.gif" width="73" ऊंचाई="24 src="> है , अर्थात। ( एक्स-जेड) द्वारा विभाजित एम.

परिभाषा 3.7.अनुपात आर पर एवहाँ है आंशिक आदेश संबंध, अगर यह रिफ्लेक्सिव, एंटीसिमेट्रिक और ट्रांजिटिवऔर प्रतीक ° द्वारा दर्शाया गया है।

आंशिक क्रम उन स्थितियों में महत्वपूर्ण है जहां हम किसी तरह पूर्वता को चित्रित करना चाहते हैं। दूसरे शब्दों में, तय करें कि किन परिस्थितियों में समुच्चय के एक तत्व को दूसरे से श्रेष्ठ माना जाए।

उदाहरण 3. 11 . नज़रिया एक्स£ यवास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर आंशिक क्रम संबंध होता है। ,

उदाहरण 3. 1 2 . किसी सार्वभौमिक समुच्चय के उपसमुच्चय में यूनज़रिया एÍ बीआंशिक आदेश संबंध है.

उदाहरण 3. 1 3 . किसी संस्था में अधीनता के संगठन की योजना पदों के एक समूह में आंशिक क्रम का संबंध है।

आंशिक क्रम संबंध का प्रोटोटाइप वरीयता (प्राथमिकता) संबंध की सहज अवधारणा है। एक प्राथमिकता संबंध समस्याओं के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे इस प्रकार जोड़ा जा सकता है विकल्प समस्या समस्या सर्वोत्तम वस्तु .

समस्या सूत्रीकरण:वस्तुओं का एक संग्रह हो एऔर वरीयता के अनुसार उनकी तुलना करना आवश्यक है, यानी सेट पर वरीयता संबंध निर्धारित करना एऔर सर्वोत्तम वस्तुओं की पहचान करें।

वरीयता संबंध पी, जिसे "के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एपीबी, ए, बीÎ एÛ वस्तु एवस्तु से कम पसंदीदा नहीं बी"अर्थ में रिफ्लेक्सिव और एंटीसिमेट्रिक है (प्रत्येक वस्तु स्वयं से बदतर नहीं है, और यदि वस्तु है एकोई भी बदतर नहीं बीऔर बीकोई भी बदतर नहीं ए, तो वे वरीयता में समान हैं)। यह मानना ​​स्वाभाविक है कि रिश्ता पीसकर्मक रूप से (हालांकि ऐसे मामले में, उदाहरण के लिए, प्राथमिकताओं पर विरोधी हितों वाले लोगों के समूह द्वारा चर्चा की जाती है, इस संपत्ति का उल्लंघन किया जा सकता है), यानी। पी– आंशिक आदेश संबंध.

वरीयता के आधार पर वस्तुओं की तुलना करने की समस्या को हल करने के संभावित तरीकों में से एक है लेकर , यानी, वस्तुओं को घटती प्राथमिकता या तुल्यता के अनुसार क्रमबद्ध करना। रैंकिंग के परिणामस्वरूप, हम वरीयता संबंध के दृष्टिकोण से "सर्वोत्तम" या "सबसे खराब" वस्तुओं की पहचान करते हैं।

उपयोग के क्षेत्र सर्वोत्तम वस्तु चुनने की समस्या के बारे में समस्याएँ: निर्णय सिद्धांत, अनुप्रयुक्त गणित, प्रौद्योगिकी, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, मनोविज्ञान।

रोजमर्रा की जिंदगी में हमें लगातार "रिश्ते" की अवधारणा से जूझना पड़ता है। रिश्ते किसी सेट के तत्वों के बीच संबंधों को निर्दिष्ट करने के तरीकों में से एक हैं।

यूनरी (एक-स्थान) संबंध सेट एम के तत्वों में कुछ एक विशेषता आर की उपस्थिति को दर्शाते हैं (उदाहरण के लिए, कलश में गेंदों के सेट पर "लाल होना")।

पारस्परिक को परिभाषित करने के लिए बाइनरी (दो-स्थान) संबंधों का उपयोग किया जाता है

कनेक्शन जो एक सेट में तत्वों के जोड़े की विशेषता बताते हैं एम.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित संबंधों को लोगों के समूह पर परिभाषित किया जा सकता है: "एक ही शहर में रहते हैं", " एक्सके मार्गदर्शन में कार्य करता है य", "बेटा होना", "बड़ा होना", आदि। संख्याओं के एक सेट पर: "संख्या एअधिक संख्या बी", "संख्या एकिसी संख्या का भाजक है बी", "संख्याएँ एऔर बी 3 से विभाजित करने पर वही शेषफल प्राप्त होता है।”

प्रत्यक्ष उत्पाद में, कहाँ ए- किसी भी विश्वविद्यालय के कई छात्र, बी- विभिन्न प्रकार के विषयों का अध्ययन किया गया, क्रमबद्ध जोड़ियों के एक बड़े उपसमूह की पहचान की जा सकती है (ए, बी), संपत्ति रखते हुए: “छात्र एविषय का अध्ययन करता है बी" निर्मित उपसमुच्चय "अध्ययन" संबंध को दर्शाता है जो छात्रों और वस्तुओं के समूह के बीच उत्पन्न होता है। उदाहरणों की संख्या जारी रखी जा सकती है

दो वस्तुओं के बीच का संबंध अर्थशास्त्र, भूगोल, जीव विज्ञान, भौतिकी, भाषा विज्ञान, गणित और अन्य विज्ञानों में अध्ययन का विषय है।

दो सेटों के तत्वों के बीच किसी भी संबंध के सख्त गणितीय विवरण के लिए, एक द्विआधारी संबंध की अवधारणा पेश की गई है।

सेट ए और बी के बीच द्विआधारी संबंधप्रत्यक्ष उत्पाद का उपसमुच्चय R कहलाता है. ऐसे में आप बस रिश्ते के बारे में बात कर सकते हैं आरपर ए.

उदाहरण 1. द्विआधारी संबंधों से संबंधित क्रमित जोड़े लिखिए आर 1और आर 2, सेट पर परिभाषित एऔर : , । सबसेट आर 1जोड़े से मिलकर बनता है: . सबसेट।

डोमेन आरसे सभी तत्वों का एक सेट है एजैसे कि कुछ तत्वों के लिए हमारे पास है। दूसरे शब्दों में, परिभाषा का क्षेत्र आरके क्रमित युग्मों के सभी प्रथम निर्देशांकों का समुच्चय है आर.

अनेक अर्थसंबंध आरलेकिन सभी में से कई ऐसे हैं जो कुछ के लिए हैं। दूसरे शब्दों में कहें तो अनेक अर्थ आरके क्रमित युग्मों के सभी दूसरे निर्देशांकों का समुच्चय है आर.

उदाहरण 1 के लिए आर 1परिभाषा का क्षेत्र: , मानों का सेट - . के लिए आर 2परिभाषा का क्षेत्र: , मानों का सेट: .

कई मामलों में द्विआधारी संबंध के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। यह दो तरीकों से किया जाता है: समतल पर बिंदुओं का उपयोग करना और तीरों का उपयोग करना।

पहले मामले में, दो परस्पर लंबवत रेखाओं को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों के रूप में चुना जाता है। सेट के तत्वों को क्षैतिज अक्ष पर प्लॉट किया गया है एऔर प्रत्येक बिंदु से होकर एक लंबवत रेखा खींचें। सेट के तत्वों को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर प्लॉट किया गया है बी, प्रत्येक बिंदु से होकर एक क्षैतिज रेखा खींचें। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्यक्ष उत्पाद के तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उदाहरण 5. होने देना , ।

होने देना आर 1क्रमित जोड़ियों को सूचीबद्ध करके परिभाषित किया गया है:। द्विआधारी संबंध आर 2एक सेट पर नियम का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है: एक जोड़ी का आदेश दिया जाता है यदि एद्वारा विभाजित बी. तब आर 2जोड़े से मिलकर बनता है: .

द्विआधारी संबंध, उदाहरण 2 से, आर 1और आर 2चित्र में ग्राफ़िक रूप से दिखाया गया है। 6 और चित्र 7.

चावल। 6 चित्र. 7

तीरों का उपयोग करके एक द्विआधारी संबंध को चित्रित करने के लिए, सेट के तत्वों को बाईं ओर बिंदुओं के रूप में दर्शाया गया है ए, दाईं ओर - सेट बी. हर जोड़ी के लिए (ए, बी)द्विआधारी संबंध में निहित है आर, से तीर निकाला गया है एको बी, . एक द्विआधारी संबंध का ग्राफिक प्रतिनिधित्व आर 1उदाहरण 6 में दिया गया चित्र 8 में दिखाया गया है।

चित्र.8

परिमित समुच्चयों पर द्विआधारी संबंध मैट्रिक्स द्वारा निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। मान लीजिए हमें एक द्विआधारी संबंध दिया गया है आरसेट के बीच एऔर बी. , .

मैट्रिक्स की पंक्तियों को सेट के तत्वों द्वारा क्रमांकित किया जाता है ए, और कॉलम सेट के तत्व हैं बी. चौराहे पर मैट्रिक्स सेल मैं- ओह लाइनें और जेवें कॉलम को आमतौर पर C ij द्वारा दर्शाया जाता है, और इसे निम्नानुसार भरा जाता है:

परिणामी मैट्रिक्स का आकार होगा।

उदाहरण 6.एक सेट दिया जाए. एक सेट पर, एक सूची और एक मैट्रिक्स के साथ एक संबंध परिभाषित करें आर- "सख्ती से कम होना।"

नज़रिया आरकैसे एक सेट में तत्वों के सभी जोड़े शामिल होते हैं ( ए, बी)से एमऐसा है कि ।

उपरोक्त नियमों के अनुसार निर्मित संबंध मैट्रिक्स का निम्नलिखित रूप है:

द्विआधारी संबंधों के गुण:

1. द्विआधारी संबंध आरएक सेट पर बुलाया जाता है चिंतनशील, यदि किसी तत्व के लिए एसे एमजोड़ा (ए, ए)अंतर्गत आता है आर, अर्थात। किसी के लिए भी रखता है एसे एम:

रिश्ते "एक ही शहर में रहते हैं", "एक ही विश्वविद्यालय में पढ़ते हैं", "अब नहीं रहेंगे" चिंतनशील हैं.

2. द्विआधारी संबंध कहलाता है एंटी-रेफलेक्टिव, यदि इसमें किसी के लिए रिफ्लेक्सिविटी का गुण नहीं है ए:

उदाहरण के लिए, "बड़ा होना", "छोटा होना" है विरोधी-चिंतनशील रिश्ते.

3. द्विआधारी संबंध आरबुलाया सममित, यदि किसी तत्व के लिए एऔर बीसे एमकिस जोड़ी से (ए, बी)अंतर्गत आता है आर... यह इस प्रकार है कि युगल (बी ० ए)अंतर्गत आता है आर, अर्थात।

सममितरेखाओं की समानता, क्योंकि तो अगर // । सममित संबंधकिसी भी सेट पर "बराबर होना" या "एन पर सहअभाज्य होना"।

संबंध R सममित है यदि और केवल यदि R=R -1

4. यदि गैर-मिलान वाले तत्वों के लिए संबंध सत्य है लेकिन गलत है, तो संबंध antisymmetric. आप इसे अलग ढंग से कह सकते हैं:

रिश्ते असममित हैं"बड़ा होना", "एन से विभाजक होना", "छोटा होना"।

5. द्विआधारी संबंध आरबुलाया सकर्मक, यदि उस जोड़े के किन्हीं तीन तत्वों के लिए (ए, बी)और (बी,सी)संबंधित आर, यह इस प्रकार है कि जोड़ी (ए, सी) से संबंधित है आर:

रिश्ते परिवर्तनशील होते हैं: "बड़ा होना", "समानांतर होना", "समान होना", आदि।

6. द्विआधारी संबंध आर प्रतिसंक्रमणीय, यदि इसमें परिवर्तनशीलता गुण नहीं है।

उदाहरण के लिए, किसी समतल की सीधी रेखाओं के सेट पर "लंबवत होना" ( , , लेकिन यह सच नहीं है कि )।

क्योंकि चूँकि एक द्विआधारी संबंध को न केवल जोड़ियों की प्रत्यक्ष सूची द्वारा, बल्कि एक मैट्रिक्स द्वारा भी निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसलिए यह पता लगाना उचित है कि कौन सी विशेषताएं संबंध मैट्रिक्स की विशेषता बताती हैं आर, यदि यह है: 1) रिफ्लेक्सिव, 2) एंटी-रिफ्लेक्सिव, 3) सममित, 4) एंटीसिमेट्रिक, 5) सकर्मक।

होने देना आरपर सेट करें, .R को या तो दोनों दिशाओं में निष्पादित किया जाता है या बिल्कुल भी निष्पादित नहीं किया जाता है। इस प्रकार, यदि मैट्रिक्स में चौराहे पर एक शामिल है मैं- ओह लाइनें और जे- वें कॉलम, यानी सी आईजे=1, तो यह चौराहे पर होना चाहिए जे- ओह लाइनें और मैं- वें कॉलम, यानी सी जी=1, और इसके विपरीत, यदि सी जी=1, फिर सी आईजे=1. इस प्रकार, सममित संबंध मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है।

4. आरएंटीसिमेट्रिक यदि और अनुसरण करता है:। इसका मतलब यह है कि संबंधित मैट्रिक्स में नहीं मैं, जेनिष्पादित नहीं किया गया सी आईजे =सी जी=1. इस प्रकार, एंटीसिमेट्रिक अनुपात मैट्रिक्स में ऐसी कोई इकाइयाँ नहीं हैं जो मुख्य विकर्ण के बारे में सममित हों.

5. एक गैर-रिक्त समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध R कहलाता है सकर्मकअगर

मैट्रिक्स के किसी भी तत्व के लिए उपरोक्त शर्त पूरी होनी चाहिए। और, इसके विपरीत, यदि मैट्रिक्स में आरकम से कम एक तत्व है सी आईजे=1, जिसके लिए यह शर्त पूरी नहीं होती है आरसकर्मक नहीं.

कार्तीय गुणन दो सेट एक्स और वाईएक सेट कहा जाता है सब लोगमंगाए गए जोड़े ( एक्स, य ) ऐसा है कि
, ए
.

उदाहरण 1 . होने देना .

तब , .

यह तो स्पष्ट है
, अर्थात। सेट ऑपरेशन का कार्टेशियन उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है।

सेट का कार्टेशियन उत्पाद
एक सेट कहा जाता है
सभी ऑर्डर किए गए सेट
ऐसा कि यदि
, तो कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाया गया है
.

हम कहेंगे कि पत्र-व्यवहार दिया गया है क्यूसेट के बीच एक्सऔर वाई, यदि एक ऑर्डर किया गया ट्रिपल दिया गया है
, कहाँ
।गुच्छा एक्सप्रस्थान क्षेत्र कहा जाता है, और वाई– पत्राचार के आगमन का क्षेत्र क्यू(निरूपित करें
). प्रत्येक तत्व यके साथ रखा
तत्व की छवि कहलाती है एक्स (एक्स- तत्व का प्रोटोटाइप य) इस पत्राचार के लिए क्यू.

पत्र-व्यवहार
बुलाया प्रदर्शन सेट एक्सकई में वाई, यदि प्रत्येक तत्व
एक छवि है
, अर्थात..

प्रदर्शन
बुलाया कार्यात्मक , यदि प्रत्येक तत्व
यह है एकमात्र छवि
:. किसी दिए गए डिस्प्ले के लिए कई छवियाँ
द्वारा चिह्नित
:.

यदि सेट
सेट से मेल खाता है वाई, तो वे ऐसा कहते हैं
प्रदर्शित करता है पर गुच्छा वाई.

पत्र-व्यवहार
बुलाया एक-से-एक (आक्षेप) , यदि क) एक मानचित्रण है; बी) कार्यात्मक रूप से; ग) प्रदर्शित करता है एक्स"ऑन" सेट वाई; घ) स्थिति से
चाहिए
.

दूसरे शब्दों में,
यदि प्रत्येक तत्व एक आक्षेप है
एक ही छवि है
, और प्रत्येक तत्व
एक ही प्रोटोटाइप है
इस डिस्प्ले के साथ:

(1.2)

1.2.2 द्विआधारी संबंध की परिभाषा

परिभाषा। वे ऐसा बहुतों पर कहते हैं एक्स द्विआधारी संबंध दिया गया आर, यदि कार्टेशियन उत्पाद का एक उपसमुच्चय दिया गया है
(वे।
).

उदाहरण 2 . होने देना
आइए इसे सेट करें एक्सनिम्नलिखित संबंध:

– समानता का संबंध;

– पूर्वता संबंध;

द्वारा विभाजित – विभाज्यता संबंध.

इन सभी संबंधों को एक विशिष्ट गुण का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जाता है। इस रिश्ते के तत्व नीचे सूचीबद्ध हैं:

तथ्य यह है कि युगल ( एक्स, य) इस संबंध से संबंधित है आर, हम लिखेंगे:
या xRy. उदाहरण के लिए, रिश्ते के लिए क्यूप्रविष्टि 4 क्यू 2 का मतलब 4 है 2 से विभाज्य है, अर्थात

परिभाषा का क्षेत्र
द्विआधारी संबंध आरएक सेट कहा जाता है
मूल्यों की श्रृंखला
एक सेट कहा जाता है

हाँ, रिश्ते के लिए आरउदाहरण 2 से परिभाषा का क्षेत्र समुच्चय है
, और मूल्यों की सीमा है
.

1.2.3 द्विआधारी संबंध निर्दिष्ट करने की विधियाँ

एक द्विआधारी संबंध को एक विशिष्ट गुण निर्दिष्ट करके या उसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके निर्दिष्ट किया जा सकता है। द्विआधारी संबंध को निर्दिष्ट करने के अधिक दृश्य तरीके संबंध ग्राफ़, संबंध आरेख, संबंध ग्राफ़, संबंध मैट्रिक्स हैं।

अनुसूची रिश्तों को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दर्शाया गया है; क्षैतिज अक्ष परिभाषा के क्षेत्र को चिह्नित करता है, ऊर्ध्वाधर अक्ष संबंध मानों के सेट को चिह्नित करता है; संबंध तत्व ( एक्स, वाई) इन निर्देशांकों के साथ समतल पर एक बिंदु से मेल खाता है। चित्र में. 1.7,ए) अनुपात का एक ग्राफ दिखाता है क्यू उदाहरण 2.

योजना रिश्तों को दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं का उपयोग करके दर्शाया गया है, जिनमें से बाईं ओर रिश्ते की परिभाषा के क्षेत्र से मेल खाती है, और दाईं ओर रिश्ते के मूल्यों के सेट से मेल खाती है। यदि तत्व ( एक्स, वाई) संबंध से संबंधित है आर, फिर संबंधित अंक से
और
एक सीधी रेखा खंड द्वारा जुड़ा हुआ। चित्र में. 1.7,बी) रिश्ते का एक आरेख दिखाता है क्यूउदाहरण 2 से.

ग्राफ़ संबंध
निम्नानुसार निर्मित किया गया है। अंक - सेट के तत्व - किसी भी क्रम में विमान पर दर्शाए गए हैं एक्स. अंकों की जोड़ी एक्सऔर परएक चाप (एक तीर के साथ रेखा) से जुड़ा है यदि और केवल यदि जोड़ी ( एक्स, वाई) संबंध से संबंधित है आर. चित्र में. 1.8,ए) संबंध ग्राफ दिखाता है क्यूउदाहरण 2.

होने देना
. आव्यूह संबंध
यह है एन लाइनें और एनकॉलम, और उसका तत्व नियम द्वारा निर्धारित:

चित्र 1.8बी) संबंध मैट्रिक्स दिखाता है क्यूउदाहरण 2.

होने देना आरसमुच्चय X पर कुछ द्विआधारी संबंध है, और x, y, z इसके कोई तत्व हैं। यदि कोई तत्व x, तत्व y के साथ R संबंध में है, तो लिखें xRy.

1. समुच्चय

आर-एक्स पर रिफ्लेक्सिव<=>किसी भी x€ X के लिए xRx

यदि संबंध R प्रतिवर्ती है, तो ग्राफ़ के प्रत्येक शीर्ष पर एक लूप होता है। उदाहरण के लिए, खंडों के लिए समानता और समानता के संबंध प्रतिवर्ती हैं, लेकिन लंबवतता और "लंबे समय" के संबंध प्रतिवर्ती नहीं हैं। यह चित्र 42 में ग्राफ़ में परिलक्षित होता है।

2. समुच्चय

आर - सममित रूप से (xYay =>y Rx) पर

एक सममित संबंध ग्राफ़ में विपरीत दिशाओं में जाने वाले युग्मित तीर होते हैं। खंडों के लिए समानता, लंबवतता और समानता के संबंध सममित हैं, लेकिन "लंबा" संबंध सममित नहीं है (चित्र 42)।

3. समुच्चय X पर एक संबंध R को एंटीसिमेट्रिक कहा जाता है, यदि समुच्चय तत्व x के साथ इस संबंध में।

आर - एक्स पर एंटीसिमेट्रिक (xRy और xy ≠ yRx)

नोट: ओवरबार किसी कथन के निषेध को इंगित करता है।

एक एंटीसिमेट्रिक रिलेशन ग्राफ़ में, दो बिंदुओं को केवल एक तीर से जोड़ा जा सकता है। ऐसे संबंध का एक उदाहरण खंडों के लिए "लंबा" संबंध है (चित्र 42)। समांतरता, लंबवतता और समानता के संबंध एंटीसिमेट्रिक नहीं हैं। ऐसे रिश्ते हैं जो न तो सममित हैं और न ही असममित हैं, उदाहरण के लिए रिश्ता "भाई होना" (चित्र 40)।

4. किसी समुच्चय किसी तत्व Z के साथ दिया गया संबंध

आर - A≠ पर सकर्मक (xRy और yRz=> xRz)

चित्र 42 में "लंबे", समानता और समानता संबंधों के ग्राफ़ में, आप देख सकते हैं कि यदि एक तीर पहले तत्व से दूसरे और दूसरे से तीसरे तक जाता है, तो निश्चित रूप से पहले से एक तीर जा रहा है तीसरे को तत्व. ये रिश्ते परिवर्तनशील हैं. खंडों की लंबवतता में परिवर्तनशीलता का गुण नहीं होता है।

एक ही समुच्चय के तत्वों के बीच संबंधों के अन्य गुण भी हैं जिन पर हम विचार नहीं करते हैं।

एक ही संबंध के कई गुण हो सकते हैं. इसलिए, उदाहरण के लिए, खंडों के एक सेट पर "बराबर" संबंध प्रतिवर्ती, सममित, सकर्मक है; संबंध "अधिक" असिमेट्रिक और सकर्मक है।

यदि समुच्चय X पर कोई संबंध प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है, तो यह इस समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है। ऐसे संबंध समुच्चय X को वर्गों में विभाजित करते हैं।

ये रिश्ते प्रकट होते हैं, उदाहरण के लिए, कार्यों को पूरा करते समय: "समान लंबाई की स्ट्रिप्स उठाएं और उन्हें समूहों में व्यवस्थित करें," "गेंदों को व्यवस्थित करें ताकि प्रत्येक बॉक्स में एक ही रंग की गेंदें हों।" तुल्यता संबंध ("लंबाई में समान होना", "एक ही रंग का होना") इस मामले में धारियों और गेंदों के सेट का वर्गों में विभाजन निर्धारित करते हैं।

यदि सेट 1 पर कोई संबंध सकर्मक और एंटीसिमेट्रिक है, तो इसे इस सेट पर ऑर्डर संबंध कहा जाता है।

किसी दिए गए क्रम संबंध वाले समुच्चय को क्रमित समुच्चय कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, कार्यों को पूरा करते समय: "पट्टियों की चौड़ाई की तुलना करें और उन्हें सबसे संकीर्ण से सबसे चौड़े तक व्यवस्थित करें," "संख्याओं की तुलना करें और संख्या कार्डों को क्रम में व्यवस्थित करें," बच्चे पट्टियों और संख्या कार्डों के सेट के तत्वों का आदेश देते हैं आदेश संबंधों का उपयोग करना; "विस्तृत होना", "अनुसरण करना"।

सामान्य तौर पर, समुच्चयों के वर्गीकरण और क्रम के बारे में बच्चों में सही विचारों के निर्माण में तुल्यता और क्रम के संबंध एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। इसके अलावा, कई अन्य संबंध भी हैं जो न तो समतुल्य संबंध हैं और न ही आदेश संबंध हैं।

6. समुच्चय का विशिष्ट गुण क्या है?

7. किन रिश्तों में सेट मौजूद हो सकते हैं? प्रत्येक मामले के लिए स्पष्टीकरण दें और उन्हें यूलर सर्कल का उपयोग करके चित्रित करें।

8. एक उपसमुच्चय को परिभाषित करें. समुच्चयों का एक उदाहरण दीजिए, जिनमें से एक दूसरे का उपसमुच्चय है। प्रतीकों का उपयोग करके उनका संबंध लिखिए।

9. समान समुच्चयों को परिभाषित करें। दो समान समुच्चयों के उदाहरण दीजिए। प्रतीकों का उपयोग करके उनका संबंध लिखिए।

10. दो सेटों के प्रतिच्छेदन को परिभाषित करें और प्रत्येक विशेष मामले के लिए यूलर सर्कल का उपयोग करके इसे चित्रित करें।

11. दो सेटों के मिलन को परिभाषित करें और प्रत्येक विशेष मामले के लिए यूलर सर्कल का उपयोग करके इसे चित्रित करें।

12. दो सेटों के बीच अंतर को परिभाषित करें और प्रत्येक विशेष मामले के लिए यूलर सर्कल का उपयोग करके इसे चित्रित करें।

13. पूरक को परिभाषित करें और यूलर वृत्तों का उपयोग करके इसे चित्रित करें।

14. किसी समुच्चय को वर्गों में विभाजित करना क्या कहलाता है? सही वर्गीकरण के लिए शर्तों का नाम बताइए।

15. दो समुच्चयों के बीच पत्राचार क्या कहलाता है? पत्राचार निर्दिष्ट करने की विधियों के नाम बताइए।

16. किस प्रकार के पत्राचार को वन-टू-वन कहा जाता है?

17. कौन से समुच्चय समान कहलाते हैं?

18. किन समुच्चयों को समतुल्य कहा जाता है?

19. किसी सेट पर संबंधों को परिभाषित करने के तरीकों का नाम बताइए।

20. समुच्चय पर किस संबंध को प्रतिवर्ती कहा जाता है?

21. समुच्चय पर कौन सा संबंध सममित कहलाता है?

22. समुच्चय पर कौन सा संबंध प्रतिसममिति कहलाता है?

23. समुच्चय पर कौन सा संबंध सकर्मक कहलाता है?

24. तुल्यता संबंध को परिभाषित करें।

25. आदेश संबंध को परिभाषित करें।

26. किस सेट को ऑर्डर किया गया कहा जाता है?

परिभाषाएं

1. द्विआधारी संबंधसेट के तत्वों के बीच एऔर मेंकार्टेशियन उत्पाद के किसी उपसमुच्चय को कहा जाता है RÍA´B, RÍA´A.

2. यदि ए=बी, वह आर- यह द्विआधारी संबंधपर ए.

3. पदनाम: (x, y)ÎR Û xRy.

4. कार्यक्षेत्रद्विआधारी संबंध आर- यह बहुत है डी आर = (एक्स: मौजूद यऐसा है कि (एक्स, वाई)ओआर}.

5. मूल्यों की श्रृंखलाद्विआधारी संबंध आर- यह बहुत है आर आर = (वाई: मौजूद एक्सऐसा है कि (एक्स, वाई)ओआर}.

6. जोड़नाद्विआधारी संबंध आरतत्वों के बीच एऔर में- यह बहुत है -आर = (ए´बी)\आर.

7. उलटा रवैयाएक द्विआधारी संबंध के लिए आर- यह बहुत है आर -1 = ((y, x) : (x, y)ÎR).

8. रिश्तों की उपज आर 1 Íए´बीऔर आर 2 ÍB´C -यह एक दृष्टिकोण है आर 1 × आर 2 = {(एक्स, वाई): मौजूद zÎBऐसा है कि (एक्स, जेड)ओआर 1और (जेड, वाई)ओआर 2}.

9. नज़रिया एफबुलाया समारोहसे ए वी में, यदि दो शर्तें पूरी होती हैं:

ए) डी एफ = ए, आर एफ एच वी

बी) सभी के लिए एक्स,य 1,य 2से क्या (एक्स, वाई 1)ओएफऔर (एक्स, वाई 2)ओएफचाहिए य 1 =य 2.

10. नज़रिया एफका एक फ़ंक्शन कहा जाता है ए पर में, यदि पहले पैराग्राफ में यह पूरा हो गया है डी एफ = ए, आर एफ = बी.

11. पद का नाम: (x, y)Îf Û y = f(x).

12. समानसमारोह मैं ए: ए®एइस प्रकार परिभाषित किया गया है: मैं ए (एक्स) = एक्स.

13. समारोह एफ 1-1 कहा जाता है -समारोह, यदि किसी के लिए एक्स 1, एक्स 2, यसे क्या वाई = एफ(एक्स 1)और वाई = एफ(एक्स 2)चाहिए एक्स 1 =एक्स 2.

14. समारोह एफ: ए®बीअंजाम देना प्रत्येक से अलग पत्राचारबीच में एऔर में, अगर डी एफ = ए, आर एफ = बीऔर एफ 1-1 फ़ंक्शन है.

15. द्विआधारी संबंध के गुण आरएक सेट पर ए:

- संवेदनशीलता: (एक्स, एक्स)ओआरसभी के लिए xÎA.

- अपरिवर्तनशीलता: (एक्स, एक्स)ÏRसभी के लिए xÎA.

- समरूपता: (x, y)ÎR Þ (y, x)ÎR.

- प्रतिसममिति: (x, y)ОR और (y, x)ОR Þ x=y.

- परिवर्तनशीलता: (x, y)ОR और (y, z)ОR Þ (x, z)ОR.

- द्विभाजन:या (एक्स, वाई)ओआर, या (वाई, एक्स)ओआरसभी के लिए xÎAऔर हाँ.

16. सेट ए 1, ए 2, ..., एक आरसे पी(ए)रूप PARTITIONसेट ए, अगर

- ए मैं ¹ Æ, मैं = 1, ..., आर,

- ए = ए 1 Èए 2 È...Èए आर,

- ए आई Çए जे = Æ, i¹j.

सबसेट ए मैं, मैं = 1, ..., आर, कहा जाता है विभाजनकारी ब्लॉक.

17. समानकएक सेट पर एपर एक प्रतिवर्ती, सकर्मक और सममित संबंध है ए.

18. तुल्यता वर्गतत्व एक्ससमतुल्यता से आर- यह बहुत है [x] आर =(y: (x, y)ÎR).

19. कारक समुच्चयएद्वारा आरसमुच्चय के तत्वों के समतुल्य वर्गों का समुच्चय है ए. पद का नाम: ए/आर.

20. तुल्यता वर्ग (कारक समुच्चय के तत्व ए/आर) सेट का एक विभाजन बनाएं एक।पीछे। सेट का कोई भी विभाजन एसमतुल्य संबंध से मेल खाता है आर, जिनकी तुल्यता वर्ग निर्दिष्ट विभाजन के ब्लॉक के साथ मेल खाते हैं। अलग ढंग से. सेट का प्रत्येक तत्व एसे कुछ तुल्यता वर्ग में आता है ए/आर. तुल्यता वर्ग या तो प्रतिच्छेद नहीं करते या संपाती होते हैं।

21. पूर्व आदेशएक सेट पर एपर प्रतिवर्ती एवं सकर्मक संबंध है ए.

22. आंशिक आदेशएक सेट पर एपर एक प्रतिवर्ती, सकर्मक और प्रतिसममितीय संबंध है ए.

23. रेखीय क्रमएक सेट पर एए पर एक प्रतिवर्ती, संक्रमणीय और एंटीसिमेट्रिक संबंध है, जो द्विभाजन संपत्ति को संतुष्ट करता है।

उदाहरण 1।

होने देना ए=(1, 2 , 3} , बी=(ए, बी). आइए कार्टेशियन उत्पाद लिखें: A´B = ( (1, ए), (1 , बी), (2 , ए), (2 , बी), (3 , ए), (3 , बी) ). आइए इस कार्टेशियन उत्पाद का कोई उपसमूह लें: आर = ((1, ए), (1 , बी), (2 , बी) ). तब आरसेट पर एक द्विआधारी संबंध है एऔर बी.

क्या यह रिश्ता एक कार्य होगा? आइए दो शर्तों 9ए) और 9बी) की पूर्ति की जाँच करें। संबंध परिभाषा डोमेन आर- यह बहुत है डी आर = (1, 2) ¹ (1, 2, 3), यानी, पहली शर्त पूरी नहीं हुई है, इसलिए में आरआपको जोड़ियों में से एक को जोड़ना होगा: (3 , ए)या (3 , बी). यदि आप दोनों जोड़े जोड़ते हैं, तो दूसरी शर्त पूरी नहीं होगी, क्योंकि ए¹अब. इसी कारण से, से आरआपको जोड़ियों में से एक को फेंकना होगा: (1 , ए)या (1 , बी). तो रवैया आर¢ = ( (1, ए), (2 , बी), (3 , बी) )एक फ़ंक्शन है. नोटिस जो आर¢ 1-1 फ़ंक्शन नहीं है.

दिए गए सेट पर एऔर मेंनिम्नलिखित संबंध भी कार्य होंगे: { (1 , ए), (2 , ए), (3 , ए) ), { (1 , ए), (2 , ए), (3 , बी) ), { (1 , बी), (2 , बी), (3 , बी) )वगैरह।

उदाहरण 2.

होने देना ए=(1, 2 , 3} . सेट पर संबंध का एक उदाहरण एहै आर = ((1, 1), (2, 1), (2, 3) ). किसी सेट पर फ़ंक्शन का एक उदाहरण एहै एफ = ((1, 1), (2, 1), (3, 3) ).

समस्या समाधान के उदाहरण

1. खोजें डॉ,आर आर,आर-1,आर×आर,आर×आर -1,आर -1×आरके लिए आर = ((x, y) | x, y О D और x+y£0).

अगर (एक्स, वाई)ओआर, वह एक्सऔर यसभी वास्तविक संख्याओं के माध्यम से चलता है। इसीलिए डॉ= आर आर = डी।

अगर (एक्स, वाई)ओआर, वह x+y£0, मतलब y+x£0और (वाई, एक्स)ओआर. इसीलिए आर -1 =आर.

किसी के लिए xÎD, yÎDचलो ले लो z=-|अधिकतम(x, y)|-1, तब x+z£0 और z+y£0, अर्थात। (एक्स, जेड)ओआरऔर (जेड, वाई)ओआर।इसीलिए आर×आर = आर×आर -1= आर -1 ×आर = डी 2.

2. किस द्विआधारी संबंध के लिए आरगोरा आर -1 = -आर?

होने देना RÍA´B. दो संभावित मामले हैं:

(1) AÇB¹Æ. चलो ले लो xÎAÇB. तब (x, x)ÎR Û (x, x)ÎR -1 Û (x, x)Î-R Û (x, x)Î(A´B) \ R Û (x, x)ÏR. विरोधाभास।

(2) एÇबी=Æ. क्योंकि आर -1 ÍB´A, ए -RÍA´B, वह आर -1 = -आर= Æ. से आर -1 = Æउसका अनुसरण करता है आर = Æ. से -आर = Æउसका अनुसरण करता है आर=ए´बी. विरोधाभास।

इसलिए यदि अ¹Æऔर B¹Æ, फिर ऐसे रिश्ते आरमौजूद नहीं होना।

3. सेट पर डीवास्तविक संख्याएँ हम अनुपात को परिभाषित करते हैं आरइस अनुसार: (x, y)ÎR Û (x–y)- तर्कसंगत संख्या। साबित करें कि आरएक समानता है.

संवेदनशीलता:

किसी के लिए भी xÎD x-x=0- तर्कसंगत संख्या। क्योंकि (एक्स, एक्स)ओआर.

समरूपता:

अगर (एक्स, वाई)ओआर, वह एक्स-वाई =. तब y-x=-(x-y)=- –तर्कसंगत संख्या। इसीलिए (वाई, एक्स)ओआर.

परिवर्तनशीलता:

अगर (एक्स, वाई)ओआर, (वाई, जेड)ओआर, वह x-y = और y-z =. इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर हमें वह प्राप्त होता है एक्स-जेड = + - तर्कसंगत संख्या। इसीलिए (एक्स, जेड)ओआर.

इस तरह, आरएक तुल्यता है.

4. विमान का विभाजन डी 2चित्र a) में दिखाए गए ब्लॉक शामिल हैं। तुल्यता संबंध लिखिए आर, इस विभाजन के अनुरूप, और समतुल्य वर्ग।

बी) और सी) के लिए एक समान कार्य।

ए) दो बिंदु समतुल्य हैं यदि वे फॉर्म की एक पंक्ति पर स्थित हैं y=2x+b, कहाँ बी- कोई भी वास्तविक संख्या।

बी) दो अंक (x 1 ,y 1)और (x 2 ,y 2)समतुल्य हैं यदि (पूर्णांक भाग एक्स 1पूरे भाग के बराबर एक्स 2) और (पूर्णांक भाग य 1पूरे भाग के बराबर य 2).

ग) अपने लिए निर्णय लें।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

1. सिद्ध करें कि यदि एफसे एक फ़ंक्शन है एवी बीऔर जीसे एक फ़ंक्शन है बीवी सी, वह एफ×जीसे एक फ़ंक्शन है एवी सी.

2. चलो एऔर बी- क्रमशः एम और एन तत्वों से युक्त परिमित सेट।

क) समुच्चय के तत्वों के बीच कितने द्विआधारी संबंध मौजूद हैं? एऔर बी?

b) इसमें कितने फ़ंक्शन हैं एवी बी?

ग) कितने 1-1 कार्य हैं? एवी बी?

घ) किस पर एमऔर एनके बीच एक-से-एक पत्राचार होता है एऔर बी?

3. सिद्ध करो एफशर्त को पूरा करता है f(AÇB)=f(A)Çf(B)किसी के लिए एऔर बीतब और केवल जब एफ 1-1 फ़ंक्शन हैं.

साहचर्य

से सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल 1 पहले एनद्वारा चिह्नित:

एन! = 1·2·3·…·(एन-1)·एन, 0! = 1

होने देना एक्स=(एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन )- यह बहुत है एनतत्व, के £ एन.

आवाससे तत्व एक्सआयतन कका एक क्रमबद्ध उपसमुच्चय है कसे संबंधित तत्व एक्स.

वॉल्यूम प्लेसमेंट की संख्या कसे एन

= एन.के(अर्थ स्थान)

यदि प्रत्येक के लिए मैं-वें का कजिन पदों पर आप किसी एक को रख सकते हैं क्यूईसेट X के तत्व, तो ऐसे प्लेसमेंट की संख्या बराबर है:

(क्यू 1, क्यू 2, ..., क्यू एन) = क्यू 1 × क्यू 2 × ... × क्यू एन

वॉल्यूम प्लेसमेंट की संख्या कसे एन

= एन(एन - 1)(एन - 2) … (एन - के + 1)=

विपर्ययसे तत्व एक्स- यह से तत्वों का स्थान है एक्सआयतन एन.

से क्रमपरिवर्तन की संख्या एनविभिन्न तत्व:

=पं= एन!

अगर एनतत्व शामिल हैं क्यूईतत्वों मैं-वीं कक्षा, क्यू 1 + क्यू 2 + ... + क्यू एम = एनऔर एक ही प्रकार के तत्व समान हैं, तो क्रमपरिवर्तन की संख्या बराबर है:

पी एन (क्यू 1 , क्यू 2 , ..., क्यू एम) =

संयोजनसे तत्व एक्सआयतन कका एक अव्यवस्थित उपसमुच्चय है कसे संबंधित तत्व एक्स.

संयोजन, प्लेसमेंट और क्रमपरिवर्तन सेट के तत्वों की पुनरावृत्ति के साथ भी हो सकते हैं एक्स(असीमित और सीमित).

वॉल्यूम संयोजनों की संख्या कसे एनदोहराव के बिना विभिन्न तत्व:

वॉल्यूम संयोजनों की संख्या कसे एनअसीमित दोहराव वाले विभिन्न तत्व:

द्विपद प्रमेय:

गुण:

(2)

(4)

(5)

कॉम्बिनेटरी समस्याओं को हल करते समय, निम्नलिखित कॉम्बिनेटरिक्स नियमों का अक्सर उपयोग किया जाता है:

1. योग नियम.यदि वस्तु A को n तरीकों से चुना जा सकता है, और वस्तु B को अन्य m तरीकों से चुना जा सकता है, तो "या तो A या B" का चयन n+m तरीकों से किया जा सकता है।
2. प्रॉडक्ट नियम।यदि वस्तु A को n तरीकों से चुना जा सकता है, और इनमें से प्रत्येक विकल्प के बाद, वस्तु B को m तरीकों से चुना जा सकता है, तो उस क्रम में "A और B" को n×m तरीकों से चुना जा सकता है।

उदाहरण कार्य. 12 लड़कियों और 10 लड़कों में से पांच लोगों की एक टीम चुनी जाती है। इस टीम को कितने तरीकों से चुना जा सकता है ताकि इसमें तीन से अधिक युवा पुरुष शामिल न हों?

समाधान. शर्त "तीन से अधिक नहीं" का अर्थ है कि टीम में शामिल किया जा सकता है या 3 युवक, या 2 युवक, या 1 युवक, याएक भी जवान आदमी नहीं. इस प्रकार, समस्या चार अलग-अलग मामलों को अलग करती है। जोड़ नियम के अनुसार, आपको इनमें से प्रत्येक मामले में विकल्पों की संख्या गिनने की आवश्यकता है तह करनाउनका।

आइए पहले मामले पर विचार करें। आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि आप 12 लड़कियों और 10 लड़कों में से 3 लड़कों और 2 लड़कियों वाली एक टीम को कितने तरीकों से चुन सकते हैं। 10 लड़कों में से आप 3 लड़कों को अलग-अलग तरीके से चुन सकते हैं. प्रत्येक तीन चयनित लड़कों के लिए, आप 12 में से 2 लड़कियों का भी चयन कर सकते हैं। इसलिए, गुणन नियम काम करता है और पहले मामले में कमांड विकल्पों की संख्या × के बराबर होती है।

इसी प्रकार, दूसरे मामले में: ×.

तीसरे मामले में: × .

चौथे मामले में: .

अंतिम उत्तर: × + × + × +।

समस्या समाधान के उदाहरण

№1.17. n (n>2) लोग एक गोल मेज पर बैठे हैं। यदि दोनों मामलों में प्रत्येक व्यक्ति के पड़ोसी समान हों तो हम दो नियुक्तियों को समान मानेंगे। मेज पर बैठने के कितने तरीके हैं?

समाधान।

संभावित बैठने की व्यवस्था की कुल संख्या n तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या के बराबर है P n = n! हालाँकि, मेल खाने वाले को इन बैठने की व्यवस्था से बाहर रखा जाना चाहिए। पड़ोस का संबंध चक्रीय क्रमपरिवर्तन के तहत संरक्षित है (उनमें से एन हैं) और सममित प्रतिबिंब के दौरान (उनमें से भी एन हैं):

इसलिए, कुल तरीकों से (विभाजित करें, क्योंकि गुणन नियम)

№1.19. 52 पत्तों वाली एक डेक से 10 पत्ते निकाले जाते हैं। कितने मामलों में इन कार्डों में कम से कम एक इक्का होगा?

समाधान।

डेक से 10 कार्ड निकालने के केवल 10 तरीके हैं। इन मामलों में से नमूने में एक भी इक्का नहीं होगा। इसलिए उत्तर है.

№1.20. n शतरंज खिलाड़ियों की तीन जोड़ी कितने तरीकों से बनाई जा सकती है?

समाधान.

सबसे पहले, हम n शतरंज खिलाड़ियों में से 6 लोगों का चयन करेंगे। ऐसा करने के कुछ तरीके हैं। अब हम प्रत्येक छः को जोड़ियों में बाँट देंगे। ऐसा करने के लिए, आइए 6 शतरंज खिलाड़ियों को एक पंक्ति में रखें, यह मानते हुए कि उनके नाम हैं: ए, बी, सी, डी, ई, एफ। यह 6 किया जा सकता है! तौर तरीकों। हालाँकि, प्रत्येक जोड़ी के भीतर का क्रम और स्वयं जोड़ियों का क्रम हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है। क्रमपरिवर्तन जिसमें शतरंज के खिलाड़ी जोड़े 2 3 में स्थान बदलते हैं। क्रमपरिवर्तन जिसमें जोड़े 3 की अदला-बदली की जाती है! इसलिए, 6 शतरंज खिलाड़ियों को जोड़ियों में विभाजित करने के तरीके हैं। उत्तर .

№1.24. 0 से 10 n तक ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें दो लगातार समान अंक नहीं हैं?

समाधान।

आइए सभी n-अंकीय संख्याओं पर विचार करें। पहला अंक हम 9 प्रकार से चुन सकते हैं। दूसरा अंक पहले से अलग हो, इसके लिए इसे 9 तरीकों से भी चुना जा सकता है। ऐसी एन-अंकीय संख्याओं की संख्या असीमित दोहराव वाले 9 तत्वों के वॉल्यूम एन के प्लेसमेंट की संख्या के बराबर है, यानी। n>1 के लिए 9 n और n=1 के लिए 10 के बराबर है।

इसलिए उत्तर 10+9 2 +9 3 +...+9 एन है। संख्या 10 n उपयुक्त नहीं है.

एल्गोरिदम का सिद्धांत

· मान लीजिए N शून्य सहित प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।

· पाठ्यक्रम के इस खंड में, प्राकृतिक मूल्यों के साथ एक निश्चित सेट MÍN n पर परिभाषित कई चर f n (x 1, ..., x n) के कार्यों पर विचार किया जाएगा, अर्थात। f n (x 1 , ..., x n)ÎN, x i ÎN for i=1, ..., n, या f n Í N n +1 .

· एक फ़ंक्शन f n (x 1, ..., x n) को हर जगह परिभाषित कहा जाता है यदि इसकी परिभाषा का डोमेन N n है, यानी। n प्राकृतिक संख्याओं के किसी भी सेट के लिए, एक प्राकृतिक संख्या होती है जो फ़ंक्शन f n का मान होती है।

· हर जगह परिभाषित सबसे सरल कार्य:

1. किसी भी x के लिए s(x)=x+1;

2. किसी भी x के लिए o(x)=0;

3. मैं एन एम (एक्स 1, ..., एक्स एम, ..., एक्स एन)=एक्स एम।

इन सरलतम कार्यों को हर जगह परिभाषित किया गया है और उनमें से, नीचे दिए गए ऑपरेटरों के अनुप्रयोगों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके, अधिक जटिल कार्यों का निर्माण किया जा सकता है।

· सुपरपोज़िशन ऑपरेटर:

फ़ंक्शन h n (x 1 , ..., x n) सुपरपोज़िशन ऑपरेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन g m , f n 1 , ..., f n m से प्राप्त किया जाता है यदि h n (x 1 , ..., x n) = g m (f n 1 ( एक्स 1 , ..., एक्स एन), ..., एफ एन एम (एक्स 1, ..., एक्स एन))।

· आदिम रिकर्सन ऑपरेटर:

फ़ंक्शन f n +1 (x 1, ..., x n, y) फ़ंक्शन g n (x 1, ..., x n) और h n +2 (x 1, ..., x n, y, z) से प्राप्त होता है ) आदिम पुनरावर्तन ऑपरेटर का उपयोग करना, यदि इसे एक आदिम पुनरावर्तन योजना द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

æf n+1 (x 1 , ..., x n , 0) = g n (x 1 , ..., x n),

èf n+1 (x 1 , ..., x n , y+1) = h n+2 (x 1 , ..., x n , y, f n+1 (x 1 , ..., x n , y) )).

· न्यूनतमकरण ऑपरेटर:

फ़ंक्शन f n (x 1 , ..., x n) न्यूनतमकरण ऑपरेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन g n +1 (x 1 , ..., x n , y) से प्राप्त किया जाता है और इसे f n (x 1 , ..., x n) से दर्शाया जाता है )=मेरा, यदि:

f n (x 1 , ..., x n) परिभाषित है और y Û g n +1 (x 1 , ..., x n , 0), ..., g n +1 (x 1 , ..., x n) के बराबर है , y -1) परिभाषित हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं, और g n +1 (x 1, ..., x n, y)=0.

(आप यह भी कह सकते हैं: "फ़ंक्शन f n (x 1, ..., x n) y के न्यूनतम मान के बराबर है जिस पर फ़ंक्शन g n +1 शून्य हो जाता है")

· आदिम पुनरावर्ती कार्य (पीआरएफ)

एक फ़ंक्शन f n +1 (x 1 , ..., x n , y) को आदिम पुनरावर्ती कहा जाता है यदि इसे सुपरपोज़िशन और आदिम पुनरावर्तन ऑपरेटरों के सीमित संख्या में अनुप्रयोगों का उपयोग करके सरल कार्यों से प्राप्त किया जा सकता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी आदिम पुनरावर्ती कार्यों को हर जगह परिभाषित किया गया है।

· आंशिक रूप से पुनरावर्ती फ़ंक्शन (पीआरएफ)

एक फ़ंक्शन f n +1 (x 1 , ..., x n , y) को आंशिक रूप से पुनरावर्ती कहा जाता है यदि इसे सुपरपोज़िशन, आदिम पुनरावर्तन और न्यूनीकरण ऑपरेटरों के सीमित संख्या में अनुप्रयोगों का उपयोग करके सरल कार्यों से प्राप्त किया जा सकता है।

· परिभाषाओं से यह देखना आसान है कि आदिम पुनरावर्ती कार्य भी आंशिक रूप से पुनरावर्ती होते हैं। हालाँकि, आंशिक रूप से पुनरावर्ती कार्य हैं जो आदिम पुनरावर्ती नहीं हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण

1. सिद्ध करें कि निम्नलिखित फ़ंक्शन आदिम पुनरावर्ती हैं।

समाधान. फ़ंक्शन f(x) को सरलतम फ़ंक्शन s(x) पर सुपरपोज़िशन ऑपरेटर n बार लागू करके प्राप्त किया जा सकता है।

समाधान. फ़ंक्शन f(x) को निम्नलिखित आदिम रिकर्सन योजना द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

æf(x, 0) = x = I 1 1 (x),

èf(x, y+1) = x+y+1=f(x,y)+1=s(f(x,y))=s(I 3 3 (x,y,f(x,y) )).

यहां फ़ंक्शन g(x) का रूप g(x)= I 1 1 (x) है और जैसा कि अपेक्षित था, यह एक चर का एक फ़ंक्शन है। और फ़ंक्शन h(x,y,z) का रूप h(x,y,z)=s(I 3 3 (x,y,z)) है और यह तीन चरों का एक फ़ंक्शन है।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन g(x) और h(x,y,z) prf हैं, क्योंकि g(x) तीसरा सबसे सरल फ़ंक्शन है, और h(x,y,z) को सुपरपोज़िशन ऑपरेटर को लागू करके सबसे सरल फ़ंक्शन s(x) और I 3 3 (x,y,z) से प्राप्त किया जा सकता है।

चूँकि फ़ंक्शन f(x,y) को आदिम पुनरावर्ती फ़ंक्शन g(x) और h(x,y,z) से आदिम पुनरावर्तन ऑपरेटर का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, तो f(x,y) एक prf है।

समाधान।फ़ंक्शन f(x) को निम्नलिखित आदिम रिकर्सन योजना द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

æf(x, 0) = 0 = o(x),

èf(x, y+1) = x(y+1)=xy+x=f(x,y)+x= I 3 3 (x,y,f(x,y)))+ I 3 1 ( x,y,f(x,y))).

चूँकि फ़ंक्शन f(x,y) को आदिम पुनरावर्ती फ़ंक्शन g(x)=o(x) और h(x,y,z) = I 3 3 (x,y,z) से आदिम पुनरावर्ती ऑपरेटर का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है )) + I 3 1 (x,y,z)), फिर f(x,y) – prf.

2. मान लीजिए g(x 1 , ..., x n ,y) एक आदिम पुनरावर्ती फलन है। साबित करें कि निम्नलिखित फ़ंक्शन आदिम पुनरावर्ती है:

समाधान।इस फ़ंक्शन की ख़ासियत यह है कि योग विभिन्न पदों पर किया जाता है। हालाँकि, फ़ंक्शन f n +1 को निम्नलिखित आदिम रिकर्सन योजना द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

æf(x 1 , ..., x n , 0) = g(x 1 , ..., x n ,0) – prf,

èf(x 1 , ..., x n , y+1) = = f(x 1 , ..., x n , y) + g(x 1 , ..., x n ,y+1) – prf का योग g और फ़ंक्शन f स्वयं।

3. सिद्ध करें कि निम्नलिखित फ़ंक्शन आंशिक रूप से पुनरावर्ती है।

समाधान।आइए हम दिखाते हैं कि फ़ंक्शन f(x,y) को न्यूनतमकरण ऑपरेटर का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए x³y, तो f(x,y) परिभाषित है और एक निश्चित मान लेता है: f(x,y) = x-y = z. Z की गणना कैसे करें? हम निम्नलिखित विधि का सुझाव दे सकते हैं: शून्य से शुरू करके, सभी z मानों को क्रम में तब तक दोहराएं जब तक कि शर्त x-y=z, या x-y-z=0 पूरी न हो जाए। ऐसा ज़ेड जरूर होगा, क्योंकि x-y³0. यदि x-y<0, то ни какое натуральное z не подойдет.

एक प्रोग्रामर इसे इस तरह लिखेगा:

अहस्ताक्षरित int f(x,y)

जबकि((x-y-z)!=0) z++;

इसे न्यूनतमकरण ऑपरेटर के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

f(x, y)=mz[|x–y–z|=0]

मॉड्यूल आवश्यक है ताकि फ़ंक्शन g(x,y,z)=|x–y–z| x-y होने पर भी निर्धारित किया गया था<0. Заметим, что g(x,y,z)=|x–y–z| является примитивно рекурсивной, т.к. может быть получена с помощью конечного числа применений оператора суперпозиции к простейшим функциям.

ए) एक फ़ंक्शन जो कहीं भी परिभाषित नहीं है (यानी परिभाषा के खाली डोमेन वाला एक फ़ंक्शन);

बी)

सी)